§ 62. Использование апланатических поверхностей. Графоаналитический метод построения апланатических поверхностей

Рассматривая системы, построенные из концентрических поверхностей, мы видели, что при отсутствии астигматизма и комы они обладают постоянством сферической аберрации по полю зрения, которая в ряде случаев может быть устранена введением поверхностей склейки.

Таким образом, в концентрических системах удовлетворяется условие синусов Аббе и при отсутствии и при наличии сферической аберрации, что позволяет считать их системами апланатическими или изопланатическими.

Одновременно концентрические системы при совмещении зрачка с общим центром поверхностей являются также и системами анастигматическими.

Всеми этими свойствами обладают также и апланатические поверхности, причем для них положение входного зрачка ничем не регламентируется.

Положение апланатических точек, как это было установлено в § 13 [формула (2.49)], определяется только расстояниями до центра поверхности, равными:

Таким образом, для одной сферической поверхности будет существовать множество пар сопряженных друг с другом апланатических точек, образующих пару сопряженных друг с другом сферических поверхностей, описанных из центра сферической преломляющей поверхности радиусами, равными отрезкам

Такое расположение сопряженных поверхностей (предмета и изображения) позволяет использовать апланатическую сферическую поверхность в качестве конструктивного безаберрационного (за исключением кривизны поля и дисторсии) элемента при компоновке оптической системы.

Рассматривая апланатическую поверхность с такой точки зрения, установим некоторые ее свойства для случая, когда

апланатические точки располагаются вне оси оптической системы.

Обратимся к рис. 12.5, на котором представлена апланатическая поверхность радиусом с центром, расположенным в точке С.

Расстояния до центра Сот предметной апланатической точки на оси обозначим через и от апланатической точки изображения — через

Проведем через точку С произвольную прямую составляющую угол у с исходной осью. Эту прямую можно рассматривать как новую ось со своими апланатическими точками расположенными на тех же расстояниях от центра С, что и точки

Рис. 12.5. Работа апланатической поверхности

Определим расстояния и у точек А к А от исходной оси. Согласно рис. 12.5,

Нетрудно определить расстояние от исходной оси до точки в которой новая ось пересекает преломляющую поверхность:

Сопоставляя формулы (12.62) и (12.63), можно связать величины следующими соотношениями:

В полученных формулах исключены радиус и угол ; таким образом, формулы (12.64) имеют более общий характер. Заметим также, что они являются точными.

Полученными зависимостями удобно воспользоваться для нахождения значения радиуса и положения центра апланатической поверхности по отношению к заданной предметной точке А, не лежащей на оси системы. Это может быть осуществлено следующим графоаналитическим способом.

Зная величины можно определить, пользуясь формулами (12.64), .

Если на этих расстояниях от оси провести две прямые, ей параллельные, то на одной из них должна разместиться точка пересечения новой оси с апланатической поверхностью, а на другой — вершина изображения А.

Так как точки всегда должны быть расположены на одной и той же прямой, можно, проводя произвольные прямые через вершину А предмета, получить множество положений точек зависящих от выбора угла такой произвольной прямой с осью системы.

Пересечение этой произвольной прямой с осью системы определяет положение центра апланатической поверхности; пересечение ее с прямой, параллельной оси, на расстоянии от нее определяет положение точки и значение радиуса апланатической поверхности, а пересечение с прямой, идущей на расстоянии у от оси, — положение вершины изображения А.

Совершенно очевидно, что графическое решение задачи может быть заменено и аналитическим решением.

Задаваясь значением угла определяют радиус апланатической поверхности

Далее можно найти расстояние а от вершины апланатической поверхности до предметной плоскости:

и отрезок а, определяющий расстояние вдоль оси от вершины преломляющей поверхности до вершины изображения:

В формулы (12.65)-(12.67) не вошли величины, определяющие ход главного луча, кроме единственного условия, что главный луч должен пройти через вершину предмета и вершину изображения.

Это обстоятельство дает возможность произвольно выбрать положение точки пересечения главного луча с осью до его преломления на апланатической поверхности, т. е. положение зрачка входа перед нею. Задаваясь таким положением зрачка, можно определить входной полевой угол

В соответствии с рис. 12.5 тангенс угла будет равен

где расстояние от вершины поверхности до центра зрачка.

Обратим внимание на одну особенность работы апланатической поверхности.

Рассматривая симметричный относительно главного луча апертурный пучок лучей, сходящийся к предметной точке А, определим его апертурные углы величинами

По отношению к вспомогательной оси сам главный луч будет играть роль апертурного луча с углом

и тогда углы могут быть выражены как

Пользуясь законом преломления, нетрудно определить для сопряженных лучей углы после преломления. Находим:

или

Углы можно представить как суммы апертурных углов лучей относительно главного луча с его углом по отношению к вспомогательной оси

Из формул (12.72) и (12.73) следует:

Суммируя эти два выражения, получаем

Для соблюдения симметрии необходимо, чтобы углы были равны друг другу по величине и обратны по знаку; но тогда их косинусы должны стать равными друг другу, что привело бы к равенству

однако это невозможно, так как углы и должны быть различны.

Таким образом, апланатическая поверхность при ходе главного луча не по нормали нарушает симметрию хода пучка лучей и, не внося своих аберраций, деформирует картину волновых аберраций от предшествующей части системы.