§ 88. Меридиональная сферическая аберрация анастигматических менисков при дальнем и ближнем положениях входного зрачка

В случае плоско-выпуклой линзы с выходным зрачком, расположенным в центре второй поверхности, и в случае линзы, у которой зрачок входа будет расположен в центре первой поверхности, а вторая поверхность будет апланатичной по отношению к изображению после первой поверхности, величина сферической аберрации по полю зрения либо сохраняется строго постоянной для первого случая, либо мало изменяющейся.

Однако, рассматривая линзы менискообразной формы, обладающие двумя положениями анастигматических зрачков, мы видели, что одна и та же линза будет обладать астигматизмом различного характера.

Аналогичной картины можно ожидать (и это наблюдается на практике) и для меридиональной сферической аберрации; отсюда возникает необходимость рассмотрения картины изменения сферической аберрации по полю, в частности, в обоих случаях устранения астигматизма.

Как уже видели, при одних и тех же величинах входных полевых углов ход главного луча при ближнем и дальнем положении анастигматических зрачков различается тем, что для дальнего положения зрачка углы на первой и второй поверхностях имеют разные знаки, а для ближнего положения зрачка эти углы будут иметь знаки одинаковые. Кроме того, в первом случае абсолютные значения углов будут значительно меньше, чем во втором случае.

Следует также не упускать из вида, что в первом случае величина косой толщины вдоль главного луча будет меньше, чем по оси линзы, а во втором случае, наоборот, — больше.

Сопоставляя отклонение главного луча для обоих анастигматических зрачков, необходимо обратить внимание на то, что при дальнем положении зрачка это отклонение будет по своему характеру напоминать отклонение луча призмой вблизи минимума угла отклонения, тогда как при ближнем положении зрачка отклонение главного луча по своему характеру будет более похожим на отклонение луча сильно наклоненной призмой.

Перейдем к непосредственному рассмотрению полевой сферической аберрации при ближнем расположении входного зрачка. Представим себе, что мы имеем дело с мениском, для которого ближнее положение зрачка совпадает с плоскостью, проходящей через острый край этого мениска, как это представлено на рис. 17.9.

Задний фокус мениска обозначим через полагая, что отверстие диафрагмы совпадает с острым краем линзы, и пуская апертурный луч через край отверстия на расстоянии от оси, определим некоторую точку пересечения этого апертурного

луча с осью. Расстояние точки от точки определит нам величину сферической аберрации на оси линзы

Через точку и оба острых края линзы проведем окружность радиусом Величина этого радиуса может быть определена как отношение высоты к синусу удвоенного апертурного угла:

причем апертурный угол можно рассматривать как угол отклонения апертурного луча на остром крае линзы.

Рис. 17.9. Мениск со зрачком входа, совпадающим с острым краем линзы

Радиус поверхности изображения мениска при исправленном астигматизме в первом приближении будет равен произведению показателя преломления линзы и ее фокусного расстояния.

Проведем через острый край линзы лучи и отыщем такой луч, для которого будет иметь место минимальный угол отклонения Угол такого луча с осью для нижнего края линзы обозначим через и для верхнего края через Эти два угла должны быть равны друг другу по абсолютной величине и отличаться по знаку.

Зададим теперь ход двух параллельных лучей через оба острых края, составляющих с осью полевой угол Верхний из этих лучей составит с направлением луча, обладавшего минимальным углом отклонения, некоторый угол у, величина которого может быть определена из рис. 17.9 как разность углов

Нижний луч образует со своим лучом, имевшим минимум отклонения, угол уравный

Таким образом, для нижнего луча угол у” будет значительно большим, чем угол у для верхнего луча.

Величину угла отклонения можно представить как некоторую функцию от угла у:

Нетрудно представить себе, что эта функция будет являться четной функцией от угла у.

Формулы (17.76) позволяют написать выражения для углов отклонения верхнего и нижнего лучей:

Определим угол между верхним и нижним лучами после преломления как разность углов Находим

Предполагая, что функцию а можно разложить в степенной ряд, и ограничиваясь первым членом разложения

представим величины углов в виде:

Тогда формула (17.78) может быть переписана следующим образом:

Из формулы (17.81) следует, что между обоими наклонными лучами, проходившими через острые края линзы, будет больше, чем угол между лучами, проходившими через те же острые края, но параллельно оси линзы.

Отсюда вытекает, что точка А, в которой оба наклонных луча пересекутся друг с другом по выходе из линзы, должна оказаться внутри окружности, проходившей через острые края линзы и точку

Радиус кривизны поверхности изображения, на которой находится фокус меридионального пучка, получается значительно больше, чем радиус штриховой окружности. Поэтому расстояние между точкой А и меридиональным фокусом получится большим, чем расстояние между точками на оси системы. Это позволяет сделать вывод, что меридиональная сферическая аберрация для наклонного пучка лучей будет больше но абсолютной величине, чем сферическая аберрация по оси линзы.

Перейдем к определению величины разности между меридиональной сферической аберрацией и сферической аберрацией на оси. Для этой цели обратимся к рис. 17.10, на котором, в отличие от рис. 17.9, сохранены три луча, образующие наклонный пучок, и проведена окружность, проходящая через острые края лингы и точку пересечения крайних лучей наклонного пучка.

Рис. 17.10. Определение меридиональной сферической аберрации мениска при ближнем расположении зрачка

Радиус этой окружности обозначим через Величина радиуса легко находится из рис. 17.10:

Сделаем два допущения — будем полагать, что кома в наклонном пчке невелика и окружности радиусов касаются друг друга (хотя на самом деле они пересекаются на острых краях линзы) в точке О на оси системы.

В соответствии с этим, определяя величину проекции меридиональной сферической аберрации на ось системы как расстояние точки пересечения крайних лучей наклонного пучка от плоскости, проходящей через меридиональный фокус на главном луче перпендикулярно оси системы, можно написать

Допуская также, что выходной зрачок будет совпадать с точкой О касания обеих окружностей, приходим к равенству угла удвоенному полевому углу

Это позволяет формулу (17.83) переписать в виде

и после некоторых преобразований

Пользуясь формулами (17.82) и (17.73), можно величины выразить через высоту Тогда

Применяя формулу (17.81) и заменяя синусы углов и самими углами, если эти углы невелики, находим

Отношение может быть заменено через величину фокусного расстояния и тогда формула (17.87) переходит в следующее выражение:

Разлагая и в ряд и отбрасывая члены, содержащие углы в степенях выше второй, получим

Величина меридионального искривления изображения при устраненном астигматизме может быть выражена приближенной формулой

что позволяет упростить формулу (17.89)

Обращаясь к частному случаю плоско-выпуклой линзы при зрачке, совпадающем с ее второй поверхностью, замечаем, что меридиональную кривизну поля можно определить с помощью

окружности, построенной на фокусном расстоянии линзы, как на диаметре. Величина равна

и тогда формула (17.89) принимает следующий вид:

Перенося в правую часть, получим

Перейдем к рассмотрению поведения меридиональной сферической аберрации при дальнем положении зрачка. В этом случае имеются следующие характерные особенности работы положительного мениска.

1. Сравнительная малость углов падения и преломления главного луча на обеих поверхностях линзы. Так, обращаясь в качестве примера к линзе со следующими данными:

при дальнем положении зрачка, находящимся на расстоянии от первой поверхности, получаем следующие значения углов:

2. Уменьшение косой толщины при увеличении полевого угла. Так, в приведенном примере для полевого угла косая толщина становится равной т. е. делается меньше, чем на оси системы, в два с лишним раза.

На величину меридиональной сферической аберрации по полю зрения влияют следующие три фактора.

1. Изменение углов главного луча с нормалями к обеим преломляющим поверхностям.

Продольная сферическая аберрация, возникающая в этом случае, являясь четной функцией от углов падения и преломления, при малых значениях этих углов будет величиной высшего порядка малости. Это позволяет не учитывать влияния углов главного луча и рассматривать сферическую аберрацию в наклонном пучке как сферическую аберрацию точки на оси для мениска с теми же самыми радиусами, но соответственно измененной толщиной — в первом приближении равной косой толщине

2. Изменение косой толщины.

Такое изменение не затрагивает изменения сферической аберрации первой поверхности линзы, и поэтому изменение сферической аберрации всей линзы явится следствием изменения увеличения ее второй поверхности и изменения аберрации этой поверхности.

3. Изменение ширины наклонного пучка лучей при его прохождении через материальную диафрагму под различными полевыми углами.

При росте полевого угла поперечное сечение наклонного пучка лучей в меридиональной плоскости будет уменьшаться пропорционально косинусу полевого угла.

Рис. 17.11. Меридиональная сферическая аберрация мениска при дальнем положении зрачка: 1 — зависимость отрезка от толщииы; 2 — продольная сферическая аберрация поперечная сферическая аберрация

Кроме того, в пространстве изображений следует учитывать переход от поперечной сферической аберрации в плоскости, перпендикулярной главному лучу, к поперечной аберрации расположенной в плсскссти, перпендикулярной оси системы.

Обратимся к рис. 17.11, на котором представлен положительный мениск, работающий при дальнем положении входного зрачка. В левой части этого рисунка показано изменение заднего фокального отрезка мениска при изменении его толщины, а также изменение сферической аберрации — продольной и поперечной Для постоянной высоты

Высоты связаны зависимостью

а поперечные аберрации зависимостью

Приведем зависимость изменения сферической аберрации мениска с постоянными исходными радиусами при изменении его толщины полученную путем тригонометрического расчета хода лучей при постоянной высоте

Из приведенной таблицы явствует, что изменение сферической аберрации при изменении толщины линзы протекает сравнительно медленно.

Далее (табл. 17.2) приведены величины отрезков вдоль главного луча до меридиональных фокусов; эти расстояния при одинаковых значениях косых толщин и толщин вдоль оси несколько расходятся с отрезками для нулевых лучей из табл. 17.1.

Таблица 17.1 (см. скан)

Совершенно очевидно, что причиной такого расхождения было отбрасывание углов отклонения главного луча; поэтому при анализе изменения сферической аберрации в качестве аргумента целесообразно принимать не косую толщину, а величину отрезка приравнивая эти отрезки к отрезкам и находя соответствующие этим отрезкам величины меридиональной толщины

Учитывая изменение высоты для различных полевых углов, были вычислены Ееличины поперечной сферической аберрации для линз с измененной толщиной вдоль оси при соответственном изменении высоты и для сопоставления эти же величины поперечных аберраций в меридиональной плоскости были вычислены непосредственно путем тригонометричекого расчета хода лучей. Все эти величины сведены в табл. 17.2.

В первых трех столбцах этой таблицы приведены полевые углы со и величины меридионального и сагиттального искривлений изображения В четвертом столбце даны величины меридиональных фокальных отрезков вдоль главного луча и в пятом столбце — косые толщины

Таблица 17.2 (см. скан)

Приняв отрезки равными отрезкам были вычислены величины поперечной сферической аберрации на оси для высот и для толщин соответствующих отрезкам Эти величины приведены в шестом, седьмом и восьмом столбцах таблицы.

В девятом столбце дан переход от величин в плоскости, перпендикулярной главному лучу, к величинам в плоскости, перпендикулярной оси системы.

В последних двух столбцах приведены величины поперечной сферической аберрации в меридиональной и сагиттальной плоскостях, вычисленные путем тригонометрического расчета хода лучей на ЭВМ.

Сопоставление величин девятого и десятого столбцов показывает весьма хорошее совпадение приближенных и точных значений для поперечной сферической аберрации в меридиональном сечении. Такое совпадение не является случайным и подтверждает правильность принятых представлений о причинах изменения сферической аберрации в меридиональной плоскости для различных полевых углов.

Переходя к рассмотрению сферической аберрации в сагиттальной плоскости, следует учитывать, что ширина наклонного пучка лучей будет сохраняться неизменной независимо от величины полевого угла; также отпадает необходимость перехода от поперечной сферической аберрации в пространстве изображений ввиду равенства сагиттальной составляющей своей проекции на плоскость, перпендикулярную оси линзы. В результате величины сагиттальной поперечной аберрации будут большими, чем в меридиональной плоскости. Эти величины, полученные путем просчета косых лучей, приведены в последнем столбце табл. 17.2.

Для сопоставления приведем таблицу изменения меридиональной и сагиттальной составляющих поперечной сферической аберрации для того же мениска, но при ближнем расположении входного зрачка (табл. 17.3).

Таблица 17.3 (см. скан)

Данные этой таблицы показывают, что при ближнем расположении входного зрачка происходит быстрый рост меридиональной составляющей поперечной сферической аберрации и несколько менее быстрый рост ее сагиттальной составляющей.

Эта же таблица подтверждает существование значительного отрицательного астигматизма в средней части поля зрения, тогда как из предшествующей таблицы было видно наличие в средней части поля положительного астигматизма, значительно меньшего по своей абсолютной величине для дальнего расположения входного зрачка.

Рис. 17.12. Изменение поперечных составляющих сферической аберрации по полю: а — для дальнего положения зрачка; б - для ближнего положения зрачка

Изменение сферической аберрации по полю зрения для обоих положений входного зрачка представлено на рис. 17.12.