§ 78. Влияние малых деформаций высшего порядка на аберрации высшего порядка в зависимости от расположения деформированной поверхности между зрачком и изображением

В реальных оптических системах пространства, в которых расположены те или иные деформированные поверхности, как правило, разделены одной или несколькими другими преломляющими поверхностями. Это в известной мере затрудняет оценку влияния деформаций.

Для устранения подобных затруднений можно воспользоваться следующим приемом.

Ранее было показано, что деформирование сферических поверхностей можно переносить на поверхности, являющиеся изображениями реальных поверхностей, и в частном случае в качестве таких поверхностей можно было бы рассматривать соответственно размещенные плоскопараллельные пластинки.

Такой прием был проиллюстрирован на примере зеркальной системы Грегори, где было получено изображение главного зеркала, совмещенное с соответственно расположенной в пространстве после всей системы плоскопараллельной пластинкой. Равным образом можно было бы перенести в предметное пространство изображение второго зеркала через первое зеркало.

Используя этот прием для получения в предметном пространстве изображений всех тех поверхностей, на которых предполагается нанести малые деформации, мы получим в предметном пространстве несколько деформированных плоскопараллельных пластинок, равнозначных по своему действию реальным деформациям на выбранных для этого сферических поверхностях системы, расположенных как угодно.

Подобные деформированные плоскопараллельные пластинки, будучи афокальными, в первом приближении не смогут существенным образом изменять направление хода лучей, проходящих через них; действие этих пластинок по сути дела будет сведено к возникновению на каждом из лучей оптической разности хода, т. е. некоторой волновой аберрации.

Величина возникающей волновой аберрации может быть выражена формулой

где определяет деформацию поверхности, а коэффициент при зависит от углов падения и преломления луча.

Однако изменение коэффициента при не очень велико. Так, полагая угол в воздухе и получая в стекле при угол , найдем значение этого коэффициента равным

0,6149; следовательно,

тогда как при углах равных нулю,

Таким образом, в практически реальном диапазоне углов преломления величина коэффициента при будет изменяться в пределах не более 25%. Тогда величину волновой аберрации можно записать в виде

где а — величина, зависящая от углов и изменяющаяся в узких пределах.

Основываясь на этих выводах, можно перейти к рассмотрению влияния малых деформаций на аберрации оптической системы.

Обратимся к рис. 15.3, на котором представлено расположение двух деформированных пластинок I и II на расстояниях от материальной диафрагмы с отверстием, равным через которое проходит параллельный пучок лучей, составляющий с осью полевой угол

Высоты главного луча на этих пластинках обозначим через а высоты наклонного луча, проходящего через край диафрагмы, — через Величины деформаций на обеих пластинках обозначим соответственно через

Рис. 15.3. Расположение деформированных поверхностей относительно зрачка

Волновые аберрации возникающие на обеих пластинках, будут суммироваться друг с другом; поэтому, учитывая, что величины могут быть определены как суммы:

и задаваясь уравнением профиля в виде:

получаем для суммарной разности хода

Развертывая это выражение и группируя члены с одинаковыми степенями находим

Два первых слагаемых не зависят от величины и выражают волновую аберрацию, возникающую на главном луче, которую можно рассматривать как волновую постоянную Остальные члены выражают:

т. е. дисторсию пятого порядка по полю;

т. е. меридиональную кривизну поля пятого порядка;

т. е. меридиональную кому третьего порядка по апертуре, изменяющуюся пропорционально кубу тангенса полевого угла;

т. е. меридиональную сферическую аберрацию третьего порядка по апертуре, изменяющуюся пропорционально квадрату тангенса полевого угла;

т. е. меридиональную кому пятого порядка по апертуре, изменяющуюся пропорционально тангенсу полевого угла;

т. е. меридиональную сферическую аберрацию пятого порядка, постоянную по полю (если не учитывать изменения величины а).

Рис. 14.4. К учету сагиттальной составляющей

Обратимся к аберрациям, возникающим в сагиттальной плоскости. На рис. 15.4 представлено сечение наклонного пучка лучей в плоскости, перпендикулярной оси системы; здесь же показаны величины

Последнюю величину, определяющую точку профиля деформированной поверхности, нетрудно определить из рисунка:

Полагая, что профиль поверхности по-прежнему определяется формулами (15.9), можно написать

и, переходя к волновой аберрации,

Для пары деформированных пластинок, аналогично формуле (15.11), находим

После исключения членов, не содержащих высоты на зрачке, формула (15.21) разделяется на три члена, которые выражают:

т. е. сагиттальную кривизну пятого порядка по полю;

т. е. сагиттальную сферическую аберрацию третьего порядка по апертуре, изменяющуюся пропорционально квадрату тангенса полевого угла;

т. е. сагиттальную сферическую аберрацию пятого порядка по апертуре, постоянную по полю (если не учитывать изменения величины а).

Для рассматриваемого случая двух деформированных пластинок имеем два коэффициента и , определяющих их профили, и два расстояния и этих пластинок от зрачка входа. Варьируя эти четыре величины, можно управлять изменениями каких-либо четырех аберраций.

Однако, как это следует из разделения волновых аберраций по меридиональному и сагиттальному сечениям, существует восемь различных аберраций пятого порядка (кроме тех, которые не проявляют себя ни в меридиональной, ни в сагиттальной плоскости), так как сферическая аберрация пятого порядка по апертуре в меридиональной и сагиттальной плоскости одинакова. С помощью только двух деформированных пластинок не представляется возможным управлять всеми восемью аберрациями пятого порядка.

Однако, если учесть, что в исходной системе некоторые из этих аберраций высших порядков были уже устранены или еще не достигли ощутимых значений, представляется интересным рассмотреть комбинации имеющихся четырех свободных параметров, воздействие которых на те или иные аберрации исключается.

Например, исходя из условия невозникновения нечетных аберраций — комы третьего и пятого порядков, приходим к равенствам:

Деля первое из этих равенств на второе, получаем

Но так как высоты могут быть выражены через полевые углы и расстояния а:

то, согласно (15.26),

Таким образом, равенство высот приводит к совмещению обеих деформированных поверхностей друг с другом и, с учетом формулы (15.25), к взаимному погашению действия обеих деформаций в силу равенства величин

что, естественно, не представляет практического интереса.

Второе же решение, выражаемое равенством приводит к симметричному расположению одинаково деформированных пластинок по обе стороны от входного зрачка.

Это условие невозникновения комы третьего и пятого порядков распространяется также и на невозникновение дисторсии. Однако условия (15.26) и (15.29) оставляют свободными уже только два параметра — расстояния пластинок от зрачка входа и деформирование их профиля.

Аналогично условию невозникновения нечетных аберраций можно поставить условие невозникновения четных аберраций. Это условие выразится формулами:

Подставляя эти величины в формулы (15.11) и (15.21), убеждаемся, что после такой подстановки в обеих формулах остаются члены, определяющие только нечетные аберрации — кому третьего и пятого порядков и дисторсию пятого порядка.

При рассмотрении деформаций шестого порядка, не влияющих на аберрации третьего порядка, мы ограничивались уравнениями профиля деформируемой пластинки, соответствующими параболам шестой степени, согласно формуле (15.9); совершенно очевидно, что этот прием может быть распространен и на деформации поверхностей четвертого порядка, воздействующие на аберрации третьего порядка.

Тогда вместо формулы (15.9) нужно будет прибегнуть к уравнениям профиля, выражаемым параболами четвертой степени

при этом формула (15.11) будет заменена формулой

Исключая из формул (15.32) и (15.33) члены, не содержащие координаты и на зрачке, сохраняем члены, определяющие диеторсию, меридиональную кривизну поля, кому и сферическую аберрацию [формула (15.32)] и сагиттальную кривизну и сферическую аберрацию [формула (15.33)], т. е. шесть независимых аберраций.

Возвратимся к условиям (15.26) и (15.29) невозникновения нечетных аберраций. Подставляя значения к и А в формулу (15.11) и исключая члены, не содержащие четных степеней можно написать

Введем отношение

Вынося в формуле (15.34) за общую скобку и вводя коэффициент находим

Аналогично для сагиттальной плоскости

Задавая коэффициент равным 0,5, мы уменьшаем первые члены в формулах (15.36) и (15.37) в 16 раз, делая их даже меньше единицы; в этом случае второй член в формуле (15.36) приобретает доминирующее значение, что позволяет активно воздействовать на полевую меридиональную сферическую аберрацию, сравнительно мало влияя на изменение меридиональной кривизны.

Наоборот, полагая коэффициент равным двум, мы сможем очень энергично воздействовать на меридиональную кривизну, существенно меньше затрагивая меридиональную сферическую аберрацию.

В обоих случаях в какой-то степени затрагивалась величина сферической аберрации пятого порядка по апертуре; однако компенсировать ее изменение без изменения других аберраций вполне возможно путем соответствующей деформации поверхности, расположенной в плоскости входного зрачка.

Можно представить себе аналогичную картину и в случае использования деформаций четвертого порядка, воздействующих на аберрации третьего порядка; тогда вместо формул (15.36) и (15.37) получились бы формулы:

В некоторых случаях возможно одновременное устранение двух аберраций, например меридиональной кривизны и меридиональной сферической аберрации.

Так, полагая необходимые изменения волновой аберрации равными

и приравнивая их соответствующим членам в формуле (15.11), находим:

Из этих двух выражений можно определить отношение коэффициентов

Деля формулы (15.40) друг на друга, получаем

откуда вытекает, что одновременное исправление двух аберраций возможно лишь в том случае, когда обе аберрации будут обладать одинаковыми знаками.

Формулы (15.11) и (15.21) были получены для случая размещения деформированных пластинок в предметном пространстве при расположении предмета в бесконечности.

Рис. 15.5 К определению координат при сходящемся пучке лучей

Однако в некоторых случаях целесообразно рассматривать аналогичную картину в сходящемся ходе лучей, т. е. в пространстве изображений. При этом, как видно из рис. 15.5, расстояние между главным лучом и лучом наклонного пучка будет изменяться в зависимости от расположения деформированной пластинки между выходным зрачком и изображением. Расстояние между зрачком и изображением обозначим через 6, а расстояние от зрачка до деформированной пластинки — через а. Тогда, согласно рис. 15.5, можно написать

где величина выражает отношение а

Рассматривая одну деформированную пластинку, находим

Разность хода возникающая на главном луче, будет равна

так как для главного луча величина обращается в нуль.

Составляя разность величин находим волновую аберрацию, отнесенную к главному лучу:

Раскрывая в этой формуле скобки и делая сокращения, находим

Для сагиттальной плоскости может быть получено аналогичное выражение

Для деформаций четвертой степени, воздействующих на аберрации третьего порядка, будем иметь:

В формулы (15.46)-(15.49) входят величины которые зависят от коэффициента Действительно, согласно формуле (15.27),

Отрезок можно представить как отношение высоты на зрачке к тангенсу апертурного угла Тогда

Пользуясь формулами (15.46)-(15.51), можно поставить задачу отыскания места расположения деформированной поверхности, при котором ее воздействие на те или иные аберрации будет наибольшим.

Для решения этой задачи можно взять любой из членов формул (15.46)-(15.49) и, заменив в нем выражение для высоты согласно формуле (15.51), продифференцировать полученное выражение и приравнять результат нулю.

Таким образом, взяв первый член в формуле (15.46), найдем

откуда

Это значение коэффициента определяет положение деформированной пластинки, особенно активно действующее на дисторсию пятого порядка.

Взяв второй член формулы (15.46), получим

откуда

Это значение коэффициента определяет положение деформированной пластинки, сильно влияющее на меридиональную кривизну четвертого порядка по полю и первого порядка по апертуре. Второй корень, когда не представляет практического интереса.

Взяв третий член формулы (15.46), найдем

В формуле (15.56) выражение в скобках может быть разложено на множители:

Решение этого уравнения дает пять корней, однако лишь один из них имеет практический интерес:

Это значение коэффициента определяет положение деформированной пластинки, особенно сильно влияющее на меридиональную кому третьего порядка по полю и второго — по апертуре.

Четвертый член формулы (15.46) после дифференцирования дает

что также приводит лишь к одному корню, имеющему практическое значение:

определяющему максимальное воздействие на меридиональную сферическую аберрацию третьего порядка по апертуре и второго — по полю.

Пятый член формулы (15.46) дает

откуда найдем реальный корень, определяющий воздействие на кому четвертого порядка по апертуре и первого порядка — по

Для деформированных пластинок, управляющих аберрациями третьего порядка, нетрудно получить аналогичные выражения.

Так, для дисторсии третьего порядка по полю

для меридиональной кривизны

для меридиональной комы

В заключение необходимо отметить, что расположение деформированной пластинки имеет более глубокое значение, чем частный случай работы несферических поверхностей, так как установленные нами закономерности свойственны и расположению иных коррекционных элементов, входящих в ту или иную оптическую систему: поверхностей склеек и расклеек (тонких воздушных промежутков), а также прогибов линз.

Характерно, что при разработке оптической системы можно для исправления тех или иных аберраций первоначально использовать малые деформации сферических поверхностей, заменив их затем соответствующими коррекционными элементами.