§ 49. Передача контраста оптической системой

В числе различных объектов, изображаемых оптической системой, может быть решетка, состоящая из ряда параллельных полос либо со скачкообразным изменением светности, либо с плавным ее изменением — переходом от какой-то наименьшей светности к наибольшей или наоборот.

Отношение разности между наибольшей и наименьшей светностью к сумме этих светностей называют коэффициентом контраста или контрастом предмета:

Полагая, что элемент объекта достаточно мал и что на участке поля, в котором рассматривается изменение светности, не происходит ощутимого изменения аберраций и величины входного зрачка, можно принять, что световой поток воспринимаемый оптической системой, будет сохранять и величину телесного угла, и угол между нормалью к элементу и осью светового пучка. Таким образом, величина светового потока будет изменяться в пределах от до лишь за счет изменения светности.

Если бы не происходило рассеяния светового потока из-за наличия аббераций и дифракции, то эти элементарные световые потоки должны были бы пройти через площадь элементарного изображения связанную с элементом предмета через линейные увеличения и . Эти увеличения условимся считать неизменными в пределах рассматриваемого участка поля зрения.

Можно определить освещенности на этих элементах изображения:

Составляя отношение разности освещенностей к их сумме, получим контраст изображения

Подставляя в эту формулу значения освещенностей из формулы (10.55) и помня, что световые потоки будут равны

можно выразить контраст через световые потоки:

или

Из формулы (10.59) следует, что при идеализированной оптической системе контраст на изображении будет равен контрасту на предмете.

Однако на самом деле величина кружка рассеяния, обусловленная наличием дифракции и аберраций, будет значительно превосходить величину геометрического изображения элемента

Рис. 10.5. К определению частотно-контрастных характеристик

В подобных случаях формулы (10.58) и (10.59) перестают быть справедливыми и контраст изображения уже не будет равным контрасту предмета. Поэтому возникает необходимость установления зависимости между контрастами

С этой целью обратимся к рис. 10.5, на котором кривая выражает функцию изменения светности В на предмете.

Светность в точке выразим как функцию от аргумента в виде отрезка Таким образом,

Светность В 2 в точке , расположенной на расстоянии от точки , может быть выражена формулой

Световой поток, исходивший от элемента предмета, расположенного в точке при наличии аберраций и дифракции, распределится на участке от до следовательно, на этом участке будет происходить изменение освещенности как функции от :

В самой точке освещенность будет равна

где коэффициент пропорциональности.

Отношение освещенности к освещенности будет являться функцией светораспределения в кружке рассеяния для точки

Перейдем к рассмотрению течки Если оптическая система не будет изменять своих свойств в интервале, существенно превосходящем расстояние между точками то в точке должна будет сохраниться негзменной функция светораспределения:

Должен будет сохраниться также и коэффициент пропорциональности Поэтому для освещенности в точке будет иметь место равенство

Если кружок рассеяния от точки перекрывает точку то в точке на освещенность от элемента предмета в точке будет накладываться освещенность от элемента , равная

Кроме точки и другие точки объекта, изображения которых укладываются в интервале расстояний от до также будут накладывать свои освещенности в точке Поэтому суммарная освещенность в точке выразится интегралом:

Формула (10.67) является сверткой функции и функции

Как мы уже видели, вследствие наличия дифракции фигура рассеяния световой энергии простирается от до в соответствии с этим и пределы интегрирования следовало бы брать от до

Однако, если картина распределения энергии на предмете будет ограничена, т. е. если предмет имеет конечные размеры, то пределы интегрирования будут ограничены размерами его изображения.

Случай бесконечно большого предмета можно рассматривать как идеализированный случай, и тогда пределы интегрирования следует брать, как уже говорилось, от до

Обратимся к изменению светности на предмете. Полагая, что светность изменяется в пределах от до Втях, выберем некоторую постоянную величину светности таким образом, чтобы

Тогда выражение (10.54) для контраста преобразуется:

Возвращаясь к формуле (10.61), можно из светности В выделить постоянную часть светность фона. Тогда, обозначая переменную часть светности через 51, получаем

и интеграл в формуле (10.67) разобьется на два интеграла:

В частном случае функцию можно рассматривать как периодическую функцию с амплитудой, равной Полагая эту функцию синусоидальной, можно написать

где под подразумевается величина, определяющая частоту данной периодической функции.

Развертывая выражение косинуса в формуле (10.72), преобразуем формулу (10.71), разделив в ней второй интеграл снова на два интеграла:

или

Составим отношения интегралов, входящих в формулу (10.74), и обозначим их как функции от частоты:

Эти две функции позволяют выразить интегралы, входящие во второй третий члены формулы (10.74), через интеграл, входивший в первый член этой формулы. В соответствии с этим формула (10.74) мол быть переписана:

Вынося оставшийся интеграл за общую скобку, находим

Коэффициент перед фигурными скобками можно рассматривать как освещенность фона Помня, что отношение есть величина контраста на предмете, формулу (10.78) можно преобразовать:

Если ввести функцию квадрат которой будет равен сумме квадратов функции

то отношения функций к этой новой функции можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла тоже являющегося некоторой функцией от частоты

Это позволяет представить формулу (10.79) в виде

или

Фуккция будет принимать максимальное и минимальное значения тогда, когда косинус, входящий во второй член формулы (10.82), будет обращаться в плюс или минус единицу:

что позволяет составить выражение для контраста на изображении:

Формула (10.84) позволяет выразить контраст на изображении через контраст на предмете, умноженный на так называемую передаточную функцию

Возвращаясь к формуле (10.82), видим, что в выражение освещенности кроме передаточной функции входит функция определяющая фазу в колебательном процессе, где функция может рассматриваться как амплитуда этого процесса.

Определяя освещенность согласно формуле (10.82), коэффициент при косинусе можно было бы рассматривать как изменение освещенности на изображении; тогда, учитывая (10.84), формулу (10.82) можно представить в виде

В случае симметрии фигуры рассеяния, когда функция светораспределения будет являться четной функцией относительно аргумента интеграл

т. е. обращается в нуль при произвольных значениях При этом становятся равными нулю и функции согласно формулам (10.76) и (10.80). Тогда распределение освещенности на изображении примет вид