Глава 8. АНАЛИЗ АБЕРРАЦИЙ НАКЛОННОГО ПУЧКА ЛУЧЕЙ

§ 38. Астигматизм

Как отмечалось в § 36, два первых члена разложения, содержащих апертурные углы во вторых степенях, выражают астигматизм.

Рассмотрим картину астигматизма более детально. Обратимся к рис. 8.1, на котором показаны вид на волновую поверхность по направлению оси системы и вид на плоскость изображения.

Выходной зрачок системы предполагается круглым (случай отсутствия виньетирования); поэтому кроме использования в качестве аргументов апертурных углов располагаемых по прямоугольной системе координат, будем пользоваться также и системой полярных координат — радиус-вектором и углом обхода у с вершиной в начале координат. В соответствии с этим углы будут связаны с углами формулами:

Рис. 8.1. Представление волновой и поперечных аберраций

Напишем общее выражение для астигматизма в виде волновой аберрации:

Пользуясь формулами (7.33), определим величины поперечных аберраций в плоскости, перпендикулярной главному лучу, как частные производные от волновой аберрации по апертурным углам:

Зная величины поперечных аберраций для астигматизма, нетрудно получить, согласно рис. 8.2, и величины продольного астигматизма вдоль главного луча.

Эти величины будут равными отношениям поперечных аберраций к соответствующим апертурным углам:

Нетрудно видеть, что отрезки вдоль главного луча будут постоянными для рассматриваемого пучка лучей. Обычно и меридиональную и сагиттальную кривизну поверхности изображения

оценивают по расстоянию точек меридионального и сагиттального изображений от общей плоскости изображения, перпендикулярной оси системы; эти расстояния можно рассматривать как проекции отрезков на ось системы:

Формула (8.2) выражает картину астигматизма в общем виде; для лучшего представления об астигматизме целесообразно рассмотреть наиболее характерные случаи.

Рис. 8.2. Связь продольного астигматизма с поперечными аберрациями

Рис. 8.3. Возможные случаи астигматизма

Строя графики изменения меридиональной и сагиттальной кривизны по полю зрения (рис. 8.3), можно выделить три таких характерных случая.

1. Коэффициент Этот случай дает нам представление не об астигматизме, а о расфокусировке.

2. Один из коэффициентов или равен нулю. Этот случай дает представление об астигматизме при расположении одного из изображений — меридионального или сагиттального — на общей плоскости изображения.

3. Оба коэффициента равны друг другу по абсолютной величине, но имеют разные знаки. Этот случай характеризует расположение общей плоскости изображения между точками меридионального и сагиттального изображений.

Перейдем к рассмотрению намеченных случаев.

1-й случай:

Обращаясь к формуле (8.2) и приравнивая в ней получаем

независимо от угла Поэтому картина волновой аберрации будет центрированной относительно оси системы.

Равным образом величины поперечных аберраций выразятся как

Возводя величины и в квадрат и складывая друг с другом, получаем

следовательно, и поперечные аберрации при расфокусировке сохранят центрированность изображения точки.

2-й случай:

Рис. 8.4. Волновые и поперечные аберрации для астигматизма при совмещении плоскости наводки с сагиттальным изображением

Уравнение волновой аберрации примет вид

Из формулы (8.9) следует, что волновая аберрация выразится параболой второго порядка от апертурного угла независимо от угла поэтому равным значениям угла будут соответствовать и равные значения волновой аберрации.

Эта зависимость сохранится, очевидно, и вдоль оси апертурных углов т. е. вдоль меридионального сечения пучка. Поэтому выражение волновой аберрации (8.9) можно рассматривать как волновую аберрацию вдоль меридионального волнового фронта.

Вдоль оси когда меридиональный апертурный угол будет равен нулю, т. е. вдоль сагиттального волнового фронта, волновая аберрация будет равна нулю.

На рис. 8.4 в системе координатных осей могут быть проведены кривые линии равных волновых аберраций; в данном случае это будут прямые линии, параллельные оси

Поперечные аберрации выразятся для этого случая уравнениями:

Таким образом, фигура рассеяния для рассматриваемого случая выразится отрезком прямой, расположенным вдоль меридиональной плоскости, причем начало и конец отрезка расположатся на равных расстояниях по обе стороны от начала координат — главного луча.

Картина волновых аберраций (в рассматриваемом случае астигматизма), представленная на рис. 8.4, рассчитана для апертурного угла и отрезка Это соответствует наибольшей поперечной аберрации и наибольшей волновой аберрации Картина волновой аберрации для этого случая может быть отождествлена с параболическим цилиндром.

Рис. 8.5. Волновые и поперечные аберрации для астигматизма при размещении плоскости нэеодки между сагиттальным и меридиональным изображениями

Совершенно очевидно, что, полагая равным нулю коэффициент а коэффициент не равным нулю, приходим к картине совершенно аналогичной, но повернутой относительно координатных осей на 90°.

3-й случай

Общее выражение (8.2) для волновой аберрации может быть разложено на два множителя:

Каждый из двух множителей, если их приравнять нулю, выразит прямую, проходящую через начало координат под углом 45° к координатным осям. Вдоль этих двух прямых, очевидно, волновая аберрация сохраняется равной нулю.

Задавая волновой аберрации значения, отличные от нуля, положительные или отрицательные, мы получим два семейства гипербол, расположенных между прямыми нулевых волновых аберраций как между асимптотами.

В этом случае сагиттальный волновой фронт уже не будет равен нулю; волновые аберрации вдоль сагиттального волнового фронта будут одинаковыми по абсолютной величине с волновыми аберрациями по меридиональному волновому фронту, но будут иметь разные знаки.

Поперечные аберрации для этого случая будут выражены формулами:

из которых видно, что фигура рассеяния при круговом обходе лучом по контуру зрачка явится окружностью, но, в отличие от случая простой расфокусировки, движение по окружности фигуры рассеяния будет происходить в обратном направлении к движению луча по контуру выходного зрачка.

Картина волновых аберраций для этого случая, представляющая собой седлообразную поверхность, и фигура рассеяния в плоскости изображения представлены на рис. 8.5.