Главная > Теория электричества
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 9. Безвихревое поле. Градиент и интеграл по кривой.

Из каждого скалярного поля можно образовать векторное; сделать это можно следующим образом. Пусть каждой точке пространства будет сопоставлен некоторый скаляр и пусть непрерывно и обладает производной во всех точках. Отложим в этом поле малый вектор Спрашивается, каково будет приращение функции при Переходе на вектор Если составляющие вектора его длина, то искомое прцращение равно:

как далее то приращение отнесенное к единице длины, при переходе в направлении будет

Согласно (9) этот результат можно выразить следующим образом: при переходе в направлении искомое приращение равно составляющей вектора по направлению Назовем этот вектор градиентом скаляра в точке и напишем, что

Градиент нормален к поверхности уровня ибо согласно (33) скалярное произведение равно нулю, когда вектор лежит в плоскости, касательной к поверхности уровня. Направление совпадает с направлением быстрейшего увеличения скаляра а величина его равна

Итак, пользуясь мы из скалярного поля образовали векторное поле .

Одним из самых основных понятий всей математической физики является понятие интеграла по кривой в векторном поле. Соединим две произвольные точки векторного поля 1 и 2 произвольной же кривой; пусть она состоит из отдельных элементарных отрезков с направлением от 1 до 2. Для каждого элемента составим скалярное произведение с вектором отвечающим началу вектора

Составим далее сумму всех таких скалярных произведений и перейдем к пределу, устремляя длину всех элементов к нулю. Тогда мы получим интеграл по кривой

Его значение, вообще говоря, конечно, зависит от кривой, по которой происходит интегрирование.

В разбираемом здесь особом случае, когда вектор является градиентом некоторого скаляра интеграл по кривой не зависит от пути, соединяющего точки 1 и 2.

В самом деле:

есть приращение скаляра на элементе пути при образовании интеграла по кривой (35) все бесконечно малые величины складываются и дают общее приращение :

Интеграл по кривой градиента имеет, следовательно, одно и то же значение для двух различных кривых, если их начальная и конечная точки одинаковы. Интеграл градиента любому замкнутому контуру равен нулю

Назовем течение жидкости, образующее поле скоростей у, безвихревым, если интеграл скорости вдоль любой замкнутой кривой равен нулю. В этом случае будем также и самое поле обозначать как безвихревое. Тогда мы можем высказать следующую теорему: поле градиента скаляра всегда — поле безвихревое.

В силовом поле интеграл вектора силы по кривой дает работу. Условие, что интеграл по любому замкнутому контуру всегда равен нулю, выражает здесь следующее: нельзя безгранично получать работу путем повторного обвода материальной точки вдоль замкнутого контура. Мы показали, что это условие выполняется, когда вектор силы есть градиент некоторого скаляра.

Имеет место и обратная теорема: безвихревое поле всегда можно рассматривать как ноле градиента скаляра. В самом деле, пусть скаляр в некоторой точке О имеет некоторое значение тогда

определяет этот скаляр в любой другой точке причем путь интегрирования из 1 в 2 согласно можно брать произвольный. Если конечную точку этого пути передвинуть на малое расстояние то

Таким образом безвихревое поле действительно является градиентом скаляра, определяемого уравненпем (36).

Если поле, о котором идет речь является силовым полем, то называют потенциалом, или, еще лучше, скалярным потенциалом. Существование потенциала есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы из силового поля нельзя было вышеуказанным рбразом безгранично получать работу. Самое понятие потенциала впервые возникло при изучении безвихревого поля силы тяжести.

Уравнение движения материальной точки в силовом поле К

скалярное умножение на вектор у дает

следовательно

Если то правая сторона независимо от пути равна и мы имеем следующий результат: приращение кинетической энергии равно пройденной разносги потенциалов.

Это понятие нашло применение и в гидродинамике; скаляр определяемый вышеуказанным образом для любого безвихревого движения, называют здесь потенциалом скоростей.

1
Оглавление
email@scask.ru