Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. Безвихревое поле. Градиент и интеграл по кривой.Из каждого скалярного поля можно образовать векторное; сделать это можно следующим образом. Пусть каждой точке
Согласно (9) этот результат можно выразить следующим образом: при переходе в направлении
Градиент
Итак, пользуясь Одним из самых основных понятий всей математической физики является понятие интеграла по кривой в векторном поле. Соединим две произвольные точки векторного поля 1 и 2 произвольной же кривой; пусть она состоит из отдельных элементарных отрезков
Составим далее сумму всех таких скалярных произведений и перейдем к пределу, устремляя длину всех элементов
Его значение, вообще говоря, конечно, зависит от кривой, по которой происходит интегрирование. В разбираемом здесь особом случае, когда вектор В самом деле:
есть приращение скаляра
Интеграл по кривой градиента имеет, следовательно, одно и то же значение для двух различных кривых, если их начальная и конечная точки одинаковы. Интеграл градиента
Назовем течение жидкости, образующее поле скоростей у, безвихревым, если интеграл скорости вдоль любой замкнутой кривой равен нулю. В этом случае будем также и самое поле обозначать как безвихревое. Тогда мы можем высказать следующую теорему: поле градиента скаляра В силовом поле интеграл вектора силы по кривой дает работу. Условие, что интеграл по любому замкнутому контуру всегда равен нулю, выражает здесь следующее: нельзя безгранично получать работу путем повторного обвода материальной точки вдоль замкнутого контура. Мы показали, что это условие выполняется, когда вектор силы есть градиент некоторого скаляра. Имеет место и обратная теорема: безвихревое поле всегда можно рассматривать как ноле градиента скаляра. В самом деле, пусть скаляр в некоторой точке О имеет некоторое значение
определяет этот скаляр в любой другой точке
Таким образом безвихревое поле действительно является градиентом скаляра, определяемого уравненпем (36). Если поле, о котором идет речь является силовым полем, то Уравнение движения материальной точки в силовом поле К
скалярное умножение на вектор у дает
следовательно
Если Это понятие нашло применение и в гидродинамике; скаляр
|
1 |
Оглавление
|