§ 9. Безвихревое поле. Градиент и интеграл по кривой.

Из каждого скалярного поля можно образовать векторное; сделать это можно следующим образом. Пусть каждой точке пространства будет сопоставлен некоторый скаляр и пусть непрерывно и обладает производной во всех точках. Отложим в этом поле малый вектор Спрашивается, каково будет приращение функции при Переходе на вектор Если составляющие вектора его длина, то искомое прцращение равно:

как далее то приращение отнесенное к единице длины, при переходе в направлении будет

Согласно (9) этот результат можно выразить следующим образом: при переходе в направлении искомое приращение равно составляющей вектора по направлению Назовем этот вектор градиентом скаляра в точке и напишем, что

Градиент нормален к поверхности уровня ибо согласно (33) скалярное произведение равно нулю, когда вектор лежит в плоскости, касательной к поверхности уровня. Направление совпадает с направлением быстрейшего увеличения скаляра а величина его равна

Итак, пользуясь мы из скалярного поля образовали векторное поле .

Одним из самых основных понятий всей математической физики является понятие интеграла по кривой в векторном поле. Соединим две произвольные точки векторного поля 1 и 2 произвольной же кривой; пусть она состоит из отдельных элементарных отрезков с направлением от 1 до 2. Для каждого элемента составим скалярное произведение с вектором отвечающим началу вектора

Составим далее сумму всех таких скалярных произведений и перейдем к пределу, устремляя длину всех элементов к нулю. Тогда мы получим интеграл по кривой

Его значение, вообще говоря, конечно, зависит от кривой, по которой происходит интегрирование.

В разбираемом здесь особом случае, когда вектор является градиентом некоторого скаляра интеграл по кривой не зависит от пути, соединяющего точки 1 и 2.

В самом деле:

есть приращение скаляра на элементе пути при образовании интеграла по кривой (35) все бесконечно малые величины складываются и дают общее приращение :

Интеграл по кривой градиента имеет, следовательно, одно и то же значение для двух различных кривых, если их начальная и конечная точки одинаковы. Интеграл градиента любому замкнутому контуру равен нулю

Назовем течение жидкости, образующее поле скоростей у, безвихревым, если интеграл скорости вдоль любой замкнутой кривой равен нулю. В этом случае будем также и самое поле обозначать как безвихревое. Тогда мы можем высказать следующую теорему: поле градиента скаляра всегда — поле безвихревое.

В силовом поле интеграл вектора силы по кривой дает работу. Условие, что интеграл по любому замкнутому контуру всегда равен нулю, выражает здесь следующее: нельзя безгранично получать работу путем повторного обвода материальной точки вдоль замкнутого контура. Мы показали, что это условие выполняется, когда вектор силы есть градиент некоторого скаляра.

Имеет место и обратная теорема: безвихревое поле всегда можно рассматривать как ноле градиента скаляра. В самом деле, пусть скаляр в некоторой точке О имеет некоторое значение тогда

определяет этот скаляр в любой другой точке причем путь интегрирования из 1 в 2 согласно можно брать произвольный. Если конечную точку этого пути передвинуть на малое расстояние то

Таким образом безвихревое поле действительно является градиентом скаляра, определяемого уравненпем (36).

Если поле, о котором идет речь является силовым полем, то называют потенциалом, или, еще лучше, скалярным потенциалом. Существование потенциала есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы из силового поля нельзя было вышеуказанным рбразом безгранично получать работу. Самое понятие потенциала впервые возникло при изучении безвихревого поля силы тяжести.

Уравнение движения материальной точки в силовом поле К

скалярное умножение на вектор у дает

следовательно

Если то правая сторона независимо от пути равна и мы имеем следующий результат: приращение кинетической энергии равно пройденной разносги потенциалов.

Это понятие нашло применение и в гидродинамике; скаляр определяемый вышеуказанным образом для любого безвихревого движения, называют здесь потенциалом скоростей.