§ 6. Произведение трех векторов.

Так как мы в дальнейшем будем применять квадратные скобки для обозначения векторных произведений, то будем пользоваться круглыми скобками в том случае, когда нам понадобится отделить два вектора, перемножаемые скалярно, от всех остальных векторов. Из трех векторов можно образовать произведения трех различных родов.

a) Произведение вектора на скалярное произведение двух других векторов:

Так как является скаляром, то есть вектор, параллельный А. Отсюда ясно, что например есть вектор, совершенно отличный от предыдущего.

b) Скалярное произведение вектора на векторное произведение двух других векторов. Здесь имеет место важное соотношение:

По элементарному правилу объем есть произведение площади основания на высоту; поэтому каждое из трех указанных выражений дает объем параллелепипеда, образованного ребрами знак этого произведения положителен, если векторы, взятые в порядке образуют правую систему.

Все три произведения даются согласно (14) и (20) следующим выражением через составляющие векторов :

с) Векторное произведение вектора на векторное произведение двух других векторов:

Вектор лежит в плоскости, определенной векторами и притом перпендикулярен проекции вектора А на эту плоскость, ибо вектор нормален к этой плоскости, перпендикулярен к А и к

Составляющая вектора по оси по (20) равна

мы перепишем это следующим образом:

или по (14)

соответствующие уравнения имеют место для обеих других составляющих; все они могут быть объединены одним векторным уравнением

Тем самым произведение третьего рода сведено к двум произведениям первого рода. С помощью этого выражения легко можно показать, что

Для этого нужно только отдельные его члены разложить по (24).

Вычислим, наконец, скалярное произведение двух векторных произведений

Это есть произведение второго рода, в котором первый вектор заменен произведением двух других. Применяя правило (23), получим

Так как согласно можно заменить

то отсюда следует