§ 61. Цепь тока с самоиндукцией, емкостью и сопротивлением.

Раз в цепь тока включен конденсатор, у тока появляются источники, так как обкладки конденсатора представляют собой: одна — источник, другая — линий тока. Поэтому при вычислении магнитного поля принципиально нужно было бы наряду с током проводимости вводить в рассмотрение также ток смещения Однако, пока расстояние между пластинками конденсатора мало, можно пренебречь влиянием тока смещения на магнитную энергию поля по сравнению с влиянием, оказываемым током проводимости. Как мы увидим дальше, следствием такого пренебрежения при применении закона ивдукции является некоторая, - правда практически маловажва, сомнительность результата. Рассмотрим (рис. 50) последовательное включение омического сопротивления емкости С и самоиндукции при действии переменного

напряжения которое пусть включено между точками Вычислим интеграл напряжения на пути который от А до С и от С до проходит по проводу и конденсатору, а от В до А (между питающими проводами) — в диэлектрике.

Если обозначить через разность потенциалов между обкладками конденсатора, то мы получим для указанного интеграла значение Но охватываемый нашим контуром поток индукции зависит, очевидно, от того, в каком месте конденсатора мы пойдем при интегрировании.

Полагая, таким образом

и рассматривая как постоянную, мы пренебрегаем влиянием магнитного поля, находящегося между обкладками конденсатора.

Далее, ток I равен изменению заряда конденсатора во времени.

Следовательно, если С означает емкость конденсатора, то

Рис. 51. Векторная диаграмма к системе рис. 50.

Поэтому при переменном токе частоты

следовательно,

Это и есть нужная нам связь между и она представлена в векторной диаграмме (рис. 51).

Кажущееся сопротивление нашей схемы будет

Оно имеет при минимум, который при малых значениях выражен очень резко. Поэтому если приложенное напряжение является результатом наложения всевозможных периодов, то ток главным образом будет содержать только те периоды, которые близки собственной частоте — Мы имеем здесь перед собой резонанс между периодом напряжения и периодом собственного колебания цепи тока.

Электрические собственные колебания. Если точки соединить накоротко проводом, то становится равной нулю, и наши уравнения (149) и (149а) дадут

Исключая имеем

Заметим, при этом, что уравнение, выведенное здесь из закона индукции, легко можно получить непосредственно из закона сохранения энергии. В самом деле, в любой момент времени полная энергия пола дается выражение

Так как внешние электродвижущие силы не действуют, то падение всегда должно равняться выделенному Джоулеву теплу, т. е.

В виду это уравнение непосредственно переходит в вышеуказанное.

Общее решение уравнения (150) будет (с двумя постоянными интегрирования

При этом

Оно дает

Если обозначить для сокращения

то в случае периодического разряда

при апериодическом разряде ьаоборот

Особенно важны для применений слабо затухающие колебания. Они имеют место тогда, когда настолько мало по сравнению с что можно пренебрегать по сравнению с Тогда имеем

Продолжительность одного колебания равна

Логарифмический декремент есть логарифм отношения амплитуд двух друг за другом следующих колебаний; следовательно,

указывает число колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшается в раз.

В качестве численного примера рассмотрим лейденскую банку радиуса 5 см, с толщиной стенок 0,2 см и высотой в по формуле для плоского конденсатора

получаем, при (стекло),

В качестве замыкающего провода возьмем обыкновенную медную согнутую в кольцо проволоку; размеры пусть будут те же, которые были в уравнении (146е); см. Самоиндукция провода, согласно (146е), будет

Для сопротивления проволоки возьмем сначала обычное омическое сопротивление

Тогда согласно

и

Этой частоте соответствовала бы длина волны Число колебаний до того момента, когда амплитуда становится в раз меньше, было Если возбуждать колебания при помощи

разряда через искровой промежуток, то во всяком случае нужно ожидать большего затухания вследствие увеличения сопротивлением искрового промежутка.

Но и без искрового промежутка мы в действительности должны ожидать значительно более высокого значения в силу сосредоточения тока в поверхностном слое, которое мы будем рассматривать в § 66. При таких обстоятельствах при вычислении нельзя уже подставлять полное поперечное сечение провода, а нужно пользоваться сечением слоя у поверхности провода, заполненного током; толщина последнего в свою очередь является функцией частоты

Но даже и при этой поправке наше вычисление затухания содержит одну принципиально в высшей степени важную неточность которая, правда, мало сказывается в нашем численном примере. В нашем колебательном контуре электрический ток начинается и кончается на обкладках лейденской банки. Последние представляют собой сток и источник электрического тока. Вопреки этому до сих пор мы во всех наших рассуждениях относительно магнитного поля клали в основу уравнение для постоянных токов

которое, очевидно, теряет смысл, когда в каком-нибудь месте отлично от нуля. В самом деле, всюду тождественно равно нулю. При выводе уравнения (149) мы пренебрегли, следовательно тем обстоятельством, что ток проводимости прерывается диэлектриком конденсатора. При строгом выводе нужно было бы принять во внимание как раз дополнение тока проводимости до Максвелловского полного тока не имеющего уже нигде источников. Мы рассмотрим подробнее практическое влияние этого члена несколько позднее. Он дает характеризуемое вектором Пойнтинга излучение энергии в форме электромагнитных волн. В энергетическом уравнении (150а) мы принимали во внимание в качестве единственной формы энергии, в которую преобразуется энергия поля, Джоулево тепло Наряду с термической мощностью поля имеет, следовательно, место еще мощность излучения, которая при периодических процессах в среднем точно также пропорциональна 12 и поэтому может быть представлена членом Множитель называется тогда "сопротивлением излучения. Таким образом, для затухания важна сумма омического сопротивления и сопротивления излучения. Если мы при нашем рассмотрении разряда конденсатора могли безнаказанно пренебрегать током смещения и излучением, то мы обязаны этим тому обстоятельству, что, во-первых, расстояние между обкладками конденсатора исчезающе мало по сравнению с размерами замыкающей цепи и что, во-вторых, размеры конденсатора малы по сравнению с длиной волны волнового излучения, соответствующего его собственной частоте. Только вследствие этих двух обстоятельств мы не допускаем слишком.

большой ошибки, когда рассматриваем ток в проволоке как квазистациопарный, т. е. принимаем, что в любой данный момент через каждое сечение проволоки протекает одинаковый ток. При увеличении расстояний между обкладками конденсатора его емкость может стать настолько малой, что наряду с ней становится заметной емкость проводов. Но тогда мы должны принимать во внимание и те источники и стоки тока, которые распределены по всему проводу, так что в различных местах I наверное будет иметь различные значения. С другой стороны, если размеры замыкающей цепи — порядка длины волны, то следствием конечной скорости распространения является сдвиг фаз токов в различных частях цепи друг относительно друга. Мы познакомимся с этим явлением поближе при рассмотрении волн в проводах и волн Герца.