§ 69. Волны вдоль проводов при конечном сопротивления последних.

Для практической телеграфии чрезвычайную важность представляет вопрос, какое изменение претерпевает описанное в предыдущем параграфе распространение волн в идеальных проводниках, если учитывать имеющееся во всех случаях омическое сопротивление проводов. Само собой ясно, что следствием выделения Джоулева тепла в проводе будет затухание волн. Кроме того, как мы увидим дальше, как затухание, так и скорость волны будет зависеть от частоты, и вместе с тем будет происходить искажение сигналов (например, разговора), передаваемых по проводам.

С точки зрения теории Максвелла, омическое сопротивление в проводнике означает появление продольной составляющей электрического поля; нельзя теперь полагать равной нулю. Поэтому из восьми уравнений (174) предыдущего параграфа остаются неизменными только четыре уравнения, остальные же четыре нужно дополнить членом с одной из производных от по Кроме того, поле теперь проникает в проводник, а потому теперь нельзя уже ограничиваться рассмотрением поля изолятора. Вследствие этого задача настолько усложняется, что строгого и общего решения дать нельзя. К счастью, во всех практически важных случаях задачу можно несколько упростить, вводя соответственные предположения относительно порядка величины Эти предположения можно выразить в кратком, хотя и не совсем правильном виде следующим образом:

Эл. поперечное поле в изоляторе продольного поля поперечного поля в металле (178).

Это соотношение нужно понимать так:

а) Так как уравнения остаются справедливыми, то мы можем поперечное поле представить, как и раньше, уравнениями (относительно предположения стр. 218):

Но тогда

и

уже не удовлетворяют, значит, уравнению предыдущего параграфа. Однако, если и достаточно малы, то, несмотря на это, в дальнейшем можно производить вычисление практически на основании этих уравнений.

Мы будем рассматривать задачу сначала в таком приближении и уже затем с помощью полученного решения дополнительно покажем, что предположение (178) в этом смысле действительно выполняется (см. дальше уравнение (183)).

Ъ) Второе предположение (178): поперечного поля в металле необходимо, если, как мы всегда будем делать, мы желаем положить Дело в том, что в противном случае ток проводимости также имел бы поперечную составляющую, которая, со своей стороны, вызвала бы продольную составляющую

Так как уравнение (167) для заряда единицы длины проводов и тока I соблюдается здесь во всяком случае, то пренебрежение в (179) величинами — и означает, что поперечное поле в изоляторе вполне соответствует вычисленному нами в § 67 полю для стационарного случая. В частности, мы можем тогда и здесь пользоваться без изменения введенными там величинами Следовательно,

по прежнему означает заряд и

— поток индукции, проходящий через полосу, црилвженжую с обеих сторон у проводов, ширины 1. Совершенно так же, как в предыдущем параграфе (рис. 55), мы можем теперь вывести с помощью уравнений непрерывности и уравнения индукции закон распространения. Но при обходе прямоугольника теперь и стороны прибавляют свою часть к интегралу, а именно и так что мы получаем

представляют собой при этом значения на поверхности проводника, а, значит, в силу непрерывности тангенциальной

составляющей и значения у поверхности внутри металла. До сих пор не говорилось о поле внутри провода. Учитывая его, мы должны исключить из последнего уравнения величины Для этого заметим, что внутри провода общая картина такова же, как (см. § 66) при скин-эффекте. Мы можем поэтому непосредственно воспользоваться выведенным там уравнением (162)

Конечно, величины уже не являются теперь постоянными, но существенно зависят от частоты переменного тока, как было показано. Поэтому наше решение имеет значение также только для синусоидального переменного поля.

Если обозначить теперь через

омическое сопротивление и "коэффициент внутренней самоиндукции“ нашей двойной петли, то наше второе уравнение (180) получит вид

и совместно с первым уравнением (180) даст

Если обозначить полный коэффициент самоиндукции через

то для ванны с частотой уравнение приобретет вид

Это уравнение можно удовлетворить, положив что дает для значение

Если разложить на вещественную часть а и мнимую :

то

При этих значениях наше решение будет иметь вид

— есть, следовательно, фаговая скорость нашей волны, -тот путь, по прохождении которого амплитуда волны ослабляется в раз.

Чтобы ясней показать влияние поля, проникающего в металл, разложим в опять на и используем соотношение

остающееся справедливым и здесь; при этом есть скорость света в диэлектрике. Тогда (182) позволяет написать

Числами

можно характеризовать "индуктивное" и "омическое" участие внутреннего поля металла в полном поле. Если, обе величины малы по сравнению с единицей, то разложение в ряд

для слагающих от дает

В первом приближении процентное запаздывание распространения волны равно или в зависимости от того, которое из этих двух чисел больше; же имеет значение, что по прохождении одной длины волны амплитуды ослабляются в раз.

Рассмотрим еще порядок величины числа играющего решающую роль для затухания.

Если есть длина волны то, если В измерять в и положить см) сек,

Для медного провода с поперечным сечением в при пренебрежении скин-эффектом:

следовательно,

где дает длину волны, измеренную в километрах. Так как порядок величины -единица, то, например, при разговорных частотах величина вовсе не мала, но, напротив, так велика по сравнению с 1, что в этом случае можно пренебречь Поэтому мы имеем приближение

Следовательно,

что можно также вывести непосредственно из (182а) и для случая

Поэтому, если длина волны значительно больше, чем то

После того, как решение

нашей задачи найдено, мы должны дополнительно исследовать границы его применимости. Для этого мы должны оценить порядок величины ошибки, допущенной нами вследствие

пренебрежения правой стороной в уравнении (179). Зная I, мы тем самым на основании (180) знаем и величины

или, в силу и полученного из значения

Обратимся еще раз к уравнению (179) и рассмотрим значения для кривой, охватывающей первый проводник на расстоянии а. Для первой величины получается

если означает элемент поверхности, ограниченной этой кривой достигает своего наибольшего значения на поверхности провода. Площадь по порядку своей величины равна Член, вносимыи величинои в поток сил можно, следовательно, считать незначительным, когда

где а указывает поперечный размер двойной проводки — скажем, расстояние между проводами. С другой стороны, определяется суммой тока проводимости I и полного тока смещения следовательно» пренебрежение током смещения в (179) будет справедливо тогда, когда

Если поставить в оба уравнения значения, полученные выше для то оба условия дают одно и то же требование

или также, имея в виду величины

Рассмотрим первое из этих двух условий при невыгодном допущении относительно т. е. для случая сильного скин-эффекта. Пусть радиус провода; тогда, согласно (164а) и (164b),

Наше условие, следовательно, гласит:

Оно могло бы быть нарушено исключительно большими значениями (слишком короткие волны) или слишком малым радиусом проводов. При коротких электрических волнах металлов со 1017 сек. Но тогда

При расстоянии между проводами см получается тогда условие для I

которое нарушить невозможно по техническим основаниям.