§ 3. Единичные и основные векторы, составляющие.

Под произведением А скаляра а на вектор а

понимают вектор, длина которого равна произведению численного значения скаляра а на длину вектора а

направление его совпадает с вектором а, и знак одинаков с а или ему противоположен, смотря но тому, является ли скаляр а положительным или отрицательным.

Умножение векторов на скаляры следует правилам алгебры скалярных величин; коммутативный закон находит себе выражение в (5). Дистрибутивный закон также справедлив, т. е.

Все векторы А одинакового направления можно выразить через вектор того же направления, но длиной равной 1

Здесь имеет место положительный пли отрицательный знак, в зависимости от того, одинаковы ли по знаку или противоположны.

Вектор длина которого равна единице, называется единичным вектором. Условимся приписывать длине вектора его размерность. Тогда единичному вектору мы должны придать размерность отвлеченного числа.

Рис. 4. Составляющая от А по направлению

Рис. 5. Составляющая суммы по равна сумме отдельных составляющих.

Единичным векторов пользуются для того, чтобы задать направление и знак одного или нескольких параллельных векторов.

Пусть будет дан (рис. 4) некоторый постоянный единичный вектор и любой вектор а, образующий с угол Составляющей вектора а по направлению единичного вектора s называют величину

равную длине проекции вектора а на прямую единичного вектора взятую со знаком плюс или минус, смотря по тому, направлены ли проекция и в одну сторону или нет.

Составляющая вектора есть скалярная величина. Если проекцию вектора а на прямую единичного вектора желательно охарактеризовать в отношении ее направления, то необходимо образовать произведение составляющей вектора а по на единичный век тор 8. Выражение

дает проекцию в виде вектора.

Рассмотрим сумму трех векторов

Как следует из § 5, составляющая ее по направлению единичного вектора равна

алгебраической сумме составляющих векторов по Этот результат можно обобщить для любого числа векторов и выразить следующим образом: составляющая геометрической суммы любого числа векторов по направлению единичного вектора равна алгебраической сумме соответствующих составляющих отдельных векторов.

Векторы любого направления и любой длины можно характеризовать их составляющими по направлению постоянных единичных векторов. Для этого пользуются тремя единичными векторами, не лежащими в одной плоскости. Примем три взаимно перпендикулярных единичных вектора к за основные. Пусть их направления совпадают с направлениями осей прямоугольной системы координат.

Рис. 6. Ортогональные единичные векторы

Как известно, существуют две системы осей х, у, z, которые называют: одну — правой, а другую — левой. Все правые системы можно привести к совпадению друг с другом, равно и все левые, но правая с левой совпасть не могут. Отражением в координатной плоскости, как в зеркале, получают из правой системы левую, из левой — правую. Отражением в начале координат (поворотом всех трех осей в противоположную сторону) из правой системы тоже получается левая, и наоборот. Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться выбранной Максвеллом правой системой.

Она представлена на рис. 6. Оси х, у, z, которые совпадают при этом с основными векторами идут в такой последовательности, что вращение от оси х к оси у, соединенное с поступательным движением вдоль оси приводит к винту с правой нарезкой. Положительные направления осей правой системе изображаются большим, указательным и средним пальцами правой руки.

Пусть составляющими вектора а по направлению основных век торов к или, как говорят, по осям будут

Тогда проекции вектора а на оси по длине, направлению и знаку даются выражениями:

Сложение этих трех векторов, как можно усмотреть из рис. 6, приводит обратно к самому вектору а. Он, следовательно, равен

Пусть даны длина, направление и знак вектора а; тогда сразу уравнениями

однозначно определяются его составляющие.

Обратно, если даны три составляющих, то однозначно определяется вектор а, как диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого суть векторы Его длина равна

его направление и знак определятся косинусами, вычисляемыми по (8а).

Зная три составляющих некоторого вектора по направлению основных векторов можно вычислить его составляющую по направлению любого единичного вектора если известны углы, которые образует вектор с основными векторами. Нужно вектор а представить согласно (8) в виде суммы трех векторов, параллельных векторам и алгебраически сложить составляющие этих трех слагаемых векторов по направлению таким образом получают

Это правило вычисления составляющей по любой оси является характерным свойством векторов. Согласно ему, каждому направлению пространства соответствует некоторая скалярная величина — именно, составляющая вектора а по этому направлению. Она зависит однородно лйнейно от направляющих косинусов. Используем обратно правило составляющих (9) для общей характеристики вектора. Если дан вектор, то всякому направлению в пространстве соответствует некоторая скалярная "составляющая вектор а", которая зависит линейно-однородно от составляющих единичного вектора, расположенного вдоль данного направления (т. е. от направляющих косинусов).