§ 42. Максвелловы натяжения.

Созданная Фарадеем и Максвеллом теория не признает никаких сил дальнодействия. Согласно этой теории, все силовые воздействия передаются электромагнитным полем непрерывно от одного тела к другому. Факт непрерывной (от точки к точке) передачи сил в упруго напряженной пружине вполне понятен. Подобным образом Фарадей усмотрел места нахождения электромагнитного силового воздействия в особом напряжении пространства, заполненного электрическими или магнитными линиями сил. Оно должно передавать силовое воздействие от одного заряда к другому. Представим себе, что система, находящаяся в электростатическом равновесии, разделена замкнутой, произвольной поверхностью на две части. Обозначим часть, охватываемую через 1, остальную часть через 2. Тогда, согласно представлению Фарадея, общая сила, действующая со стороны 2 на 1, должна каким-то образом пронцкать через эту поверхность. При этом совсем безразлично, находится ли поверхность частью или целиком в пустоте. Строгое проведение этой концепции принадлежит Максвеллу, который показал, что общее силовое воздействие, производимое на часть 1 [с силой на ]

можно представить как результат поверхностных сил, которые приложены к поверхности этой части (при этом прежде, всего надо иметь в виду, что указанное выражение для К содержит лишь силовое воздействие со стороны 2 на 1; если два заряда находятся оба внутри 1, то в силу равенства действия и противодействия они ничего не прибавят к результирующей силе). Обозначим через силу, которая действует на элемент граничной поверхности 1. Мы утверждаем вместе с Максвеллом: выражение для К можно преобразовать та к, что

Действие со стороны 2 на 1 эквивалентно действию поверхностных сил При этом по теории поля может зависеть только от величин поля в месте элемента поверхности ориентации (направление нормали) по отношению к направлению поля.

Составляющие к можно, как оказывается, представить в виде некоторого расхождения, и потому можно произвести это преобразование на основании теоремы Гаусса. Вычислим составляющую К по х; мы будем искать, следовательно, такие величины для которых

Тогда для составляющих от к по должны иметь место соответственные же уравнения.

Если такое преобразование к сделано, то теорема Гаусса сейчас же дает вектор поверхностной силы Т:

Для того чтобы произвести преобразование, указанное в (106), положим сокращенно

Заменим далее на и воспользуемся для второго слагаемого тождеством

В силу безвихревого характера имеем

или

Таким образом для получено выражение вида (106а). Для составляющих Максвелловского тензора напряжений циклической перестановкой цолучим

Эти величины, будучи поставлены в (107), дают искомую систему поверхностных сил Рассмотрим несколько ближе эту связь между вектором поля и Максвелловскими натяжениями. Она оказывается при этом много проще, чем можно быйо бы ожидать при первом взгляде на формулы: прежде всего та часть натяжений, которая связана с зависимостью диэлектрической постоянной от объема, появляется только в диагонали и дает гидростатическое давление величины , действующее всегда нормально к Но это можно было видеть непосредственно из первоначального вида k. В дальнейшем мы не будем принимать во внимание эту часть, которая в пустоте всегда равна нулю, а будем рассматривать только ту часть (108), которая получается из нее при Выберем определенный элемент поверхности и поместим координатную систему таким образом, чтобы положительная ось х была направлена вдоль поля а ось была перпендикулярна как к нормали элемента поверхности, так и к силе поля. Если обозначить через угол между нормалью к поверхности и силой поля, а через величину силы поля, то имеем [рис. 36]

Рис. 36. Угол, образованный Максвелловой поверхностной силой и нормалью и, направлением силовых линий делится пополам.

Таким образом для вектора поверхностной силы из (107) и (108) получается

Отсюда получается следующее простое построение вектора Т: Абсолютная величина

не зависит от ориентации элемента поверхности по отношению к полю. Единичный вектор, имеющий направление получается отражением векторал (рис. 36), от направления Действительно, составляющие построенного таким образом единичного вектора по равны как это требуется по (109). Выбранное нами при выводе частное положение координатной системы, конечно, ни в коей мере не нарушает общности, а служит только для упрощения вывода.

Согласно указанного построения, угол между нормалью поверхности и вектором силы всегда делится понолам силою поля.

Следовательно, если мы повернем элемент поверхности по отношению к направлению поля, то увидим следующее: если поле параллельно то имеет также направление и мы имеем чистое нормальное натяжение. Если выводить из положения всегда поворачивается на тот же угол в противоположную сторону. При лежит в плоскости элемента поверхности; мы имеем в этом случае чистое тангенциальное напряжение. При дальнейшем росте последнее опять падает, уступая место нормальному давлению, которое одно только и. остается, когда перпендикулярно к тогда антипараллелен Величина остается при всем вращении неизменной. Знак не оказывает никакого влияния на Тензор напряжения переносит чистое натяжение, если нормально к чистое давление, если лежит в плоскости

Рассмотрим кратко в виде примера силу взаимодействия двух точечных зарядов в случае, когда оба заряда равны (отталкивание) или когда они равны и противоположны (притяжение). Поместим оба заряда на оси х на расстоянии и —а от начала. В качестве объема первой части нашей системы возьмем полушар, который описывается вокруг начала координат плоскостью и левой половиной некоторой весьма большой шаровой поверхности. Поверхностная сила, действующая на шаровую поверхность, ничего не прибавляет к общей силе, так как на ней стремится к нулю, как

Остается только действие силы, переносимое плоскостью симметрии.

При равных зарядах (рис. 37а) поле на этой плоскости всюду параллельно к на плоскость производится чистое давление. И притом

Если есть расстояние точки плоскости симметрии от начала, то в ней, следовательно,

Поверхность кольца есть Подставляя получим, что общая сила давления, действующая на рассматриваемую плоскость,

Остающийся затем определенный интеграл при интегрировании по частям дает

так что для К получается, как это и должно быть, Кулоновское отталкивание

При равных и противоположных зарядах силовые линии поля всюду идут нормально к плоскости симметрии. Мы имеем чистое натяжение. И притом

следовательно

и потому

Рис. 37а. Отталкивание равных точечных зарядов и притяжение равных, но противоположных точечных зарядов описываются Максвелловыми натяжениями, изображенными в плоскости симметрии.

Рассмотрение хода линий поля на двух рис. 37а и 37b позволяет непосредственно понять действие Максвелловых натяжений: растяжение в направлении линий поля (рис. 37b), сжатие в перпендикулярном к ним направлении (рис. 37а).