IV. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

§ 62. Плоские волны в однородном изотропном диэлектрике.

В этой главе мы переходим к рассмотрению таких электромагнитных полей, которые быстро меняются во времени и пространстве, — в частности, займемся рассмотрением электромагнитных волн. В этом случае нельзя считать ток квазистационарным. В основу математической теории электрических волн нужно положить дифференциальные уравнения поля для покоящихся тел (§ 52).

Рассмотрим сначала однородный изотропный диэлектрик; он свободен от сторонних сил, суть константы, равняется нулю.

Уравнения поля § 52 в этом случае дают

так как является постоянной,

К этим уравнениям мы придем, если исключим истинные заряды внутри изолятора

Этой системой уравнений определяется распространение электромагнитных волн в диэлектрике.

Из нее легко можно исключить один из векторов или Чтобы исключить нужно взять вихрь от первого уравнения, второе уравнение продифференцировать по умножить на множитель и сложить с первым. Тогда получается

Если принять во внимание то, согласно правилу вычисления (95), это уравнение переходит в

С другой стороны, можно также исключить умножая этого (151а) на и дифференцируя по беря затем вихрь и вычитая полученное уравнение из первого. Тогда получается

Оба вектора удовлетворяют, следовательно, одному и тому же дифференциальному уравнению. Для полей, не изменяющихся во времени, это уравнение переходит в дифференциальное уравнение Лапласа.

Будем искать теперь такие частные решения уравнений поля, которые соответствуют серии плоских однородных волн.

Серию волн называют плоской, если в поле можно провести ряд параллельных плоскостей таким образом, что вдоль каждой такой плоскости электрическая и магнитная сила поля не меняется ни по величине, ни по направлению: эти плоскости называют плоскостями волн, направление их нормали — нормалью волны. Отложим ось х вдоль нормали волны, так что плоскости волн становятся при этом параллельными плоскости Так как вдоль плоскостей должны быть постоянными, то частные производные по пропадают, и уравнения поля будут:

Согласно и первому из уравнений (152а), продольные составляющие являются постоянными как во времени, так и в пространстве. Если бы они были отличны от нуля, то можно было бы говорить только о статическом поле, накладывающемся на волновое поле. Но такое статическое поле не имеет никакого влияния на распространение волн и не представляет здесь никакого интереса. Мы положим поэтому

Заметим, что четыре последних и в уравнений (152а), которые еще нужно удовлетворить, связывают составляющие друг с другом попарно: с одной стороны с другой стороны Мы можем поэтому обе пары рассматривать раздельно. Исключая из уравнений

подучаем уравнения

Они следуют непосредственно из ( если, в согласии с предположением, что волны — однородные и плоские, зачеркнуть производные по у и в. Эти частные дифференциальные уравнения известны из теории колебаний струны. Напишем общее решение в виде

где

представляют собой любые функции аргументов Тогда уравнения удовлетворяются при

Произвольные функции

представляют волны, которые распространяются в направлении положительной и, соответственно, отрицательной х оси.

Мы ограничимся рассмотрением только того частного решения, которое дается функцией

Вид этой функции определяется кривой волны в момент Эта кривая волны распространяется неискаженной со скоростью w. Скорость плоской электромагнитной волны не зависит, следовательно, от формы и длины волны. В пустоте, для которой Гауссова система единиц полагает

скорость дается, согласно (153а), универсальной постоянной с, значение которой, найденное путем сравнения электростатических и электромагнитных единиц, будет (§ 54)

Это число совпадает со скоростью света в пустоте. Мы видим, следовательно, что в пустоте скорость плоских электромагнитных волн равна скорости света с.

Световым и электромагнитным волнам присуща не только общая скорость. Электромагнитные волны так же, как и световые, суть волны поперечные. В самом деле, мы нашли, что ни ни не могут иметь периодически изменяющейся продольной составляющей. Оба вектора перпендикулярны к нормалям волн. Поэтому в пустоте электромагнитные и световые волны обнаруживают совершенно аналогичное поведение.

Именно эти следствия из уравнений Максвелла привели его к созданию электромагнитной теории света. Электромагнитная теория света рассматривает световые и тепловые лучи как электромагнитные волны. Она превосходит старую механическую теорию света тем, что позволяет вычислить значение скорости распространения из чисто электрических измерений, и тем, что с самого начала допускает только поперечные плоские волны света. Старая теория, которая рассматривала свет как волновое движение упругой среды, могла лишь с трудом объяснить отсутствие продольных световых волн. Электромагнитная и света вообще исключает существование продольных световых волн.

Если свет действительно представляет собой электромагнитный процесс, то все оптические с в ства материи должны полностью определяться ее электрическими постоянными. Действительно, как мы сейчас увидим, из теории Максвелла следует, что оптический показатель преломления существенно определяется диэлектрической постоянной, а поглощательная способность — электропроводностью. Эти количественные предсказания теории согласуются с опытом только при достаточно длинных волнах (инфракрасные волны, волны Герца). Здес? дополнение вносится электронной теорией, которая показывает, что благодаря инерции электронов электрическую поляризацию нужно рассматривать как динамический процесс, при котором решающую роль играет частота падающей световой волны. Только при таком дополнении (зависимость от частоты) Максвеллова теория света может дать исчерпывающее описание оптических явлений.

В диэлектрических телах, у которых диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость отличны от 1, скорость электромагнитных волн дается (153а). Поэтому показатель преломления диэлектрика в общем случае равен

В частности, для случая, когда получается так называемое "соотношение Максвелла

У иволяторов, которые не являются ни парамагнитными, ни диамагнитными, диэлектрическая постоянная должна, согласно электромагнитной теории света, равняться квадрату оптического показателя преломления. Экспериментальное испытание этого вывода позволяет судить с точки зрения электромагнитной теории света, насколько правильно уравнения поля описывают диэлектрическое поведение тел но отношению к этим очень быстрым электрическим колебаниям. Ведь, как изложено в § 52, уравнения поля для изоляторов получились из общих основных уравнений до благодаря тому, что соотношение

было перенесено с электростатических полей на произвольно быстро меняющиеся поля. Справедливость соотношения Максвелла есть пробный камень для правильности этого допущения.

Для многих газов, как, например, для соотношение выполняется сносно даже в видимой области. Оно перестает быть верным для таких газов относительно которых мы по их химическим свойствам могли бы ожидать, что они состоят из двух ионов противоположного знака, связанных Кулоновским притяжением (дипольные газы). У таких газов инерция при поляризации переменным полем световой волны должна, конечно, сказываться гораздо сильнее, чем у газов, названных ранее, так как в них могут двигаться исключительно электроны. Соотношение Максвелла, как правило, перестает быть верным в области видимого света у таких тел, которые в инфракрасной части показывают избирательные области поглощения. Особенно отчетливо проявляется эта особенность у воды

На вопрос о том, чем определяется плоскость поляризации прямолинейно поляризованного луча: вектором ли или нельзя ответить на основе развитых до сих пор соображений. Однако, применение электромагнитной теории к кристаллам приводит к основным законам кристаллооптики, если оптическую анизотропию свести к диэлектрической и проводить плоскость поляризации через и нормаль волны. Законы отражения света у поверхностей прозрачных тел (этих законов мы не будем здесь касаться), получаются из электромагнитной теории света в соответствии с формулами Френеля, если плоскость поляризации прямолинейно поляризованного луча принять нормальной к вектору

Вычислим теперь энергию, которую переносит плоская электромагнитная волна.

Согласно закону сохранения энергии (127) и (128), ежесекундный перенос энергии через плоскости дается вектором излучения

т. е.

С другой стороны, плотность энергии и в нашем волновом поле дается выражением

Принимая во внимание значение скорости распространения плоской с волны имеем, следовательно,

т. е. через плоскости за одну секунду проходит как та энергия, которая находится в цилиндре с сечением 1 и длиной