§ 66. Скин-эффект.

Рассмотрим прямой провод круглого сечения радиуса по которому пусть течет переменный ток частоты Тогда на его поверхности имеется электрическое поле, направленное по его оси, и магнитное поле, перпендикулярное но также параллельное поверхности. Качественно это дает соотношения, одинаковые с теми, которые мы рассмотрели выше (§ 63) для случая световой волны, проникающей в металл. Действительно, на поверхности металла мы имели бы аналогичное распределение поля, если бы направили нормально к поверхности провода световую волну частоты поляризованную перпендикулярно к направлению оси провода.

Для такой волны мы вычислили выше [ур-ние (157b)] для случая плоской металлической поверхности ту глубину проникания, при которой амплитуда ослабляется в раз. В целях упрощения примем в этом параграфе за меру глубины проникания не точно величину, данную в часть от нее, — следовательно, подставляя

Хотя, конечно, расчет при цилиндрической поверхности провода в некоторых частностях сложнее, чем при плоской поверхности, но качественно мы можем с самого начала предвидеть следующие два предельные случая:

1. Радиус провода мал по сравнению с переменное поле при проникании до оси провода ослабляется незначительно. Плотность тока будет распределена по сечению провода равномерно.

2. переменное поле полностью затухнет прежде, чем успеет распространиться вовнутрь на заметную часть радиуса провода. Поэтому, плотность тока заметно отличается от нуля лети» в очень тонком поверхностном слое ("оболочке"). Во всей внутренней части провода поля практически нет.

Это проникание переменнога поля в металл следует тому же закону, что и проникание температурных колебаний в тело, поверхность которого попеременно согревается и охлаждается, Так как металле можно пренебречь током смещения по сравнению с током

проводимости [ур-ние (157)], то колебательное уравнение для внутренней части металла принимает вид

С другой стороны, для материала с теплоемкостью (относящейся к единице объема), теплопроводностью и температурой передача тепла определяется уравнением

Возрастание скин-эффекта с растущей частотой нужно поэтому понимать так же, как тот факт, что суточные температурные колебания проникают в почву менее глубоко, чем годовые колебания.

Для количественного рассмотрения скин-эффекта мы должны проинтегрировать ур-ние (160) по поперечному сечению провода. Но прежде применим к нашему случаю вектор Пойнтинга (159а). Ограничимся сейчас случаем, когда ток, а, значит, и поле всдеду параллельны оси провода. Отложим ось в направлении оси провода и положим Интегрирование по единице длины провода при пренебрежении электрической частью энергии поля дает

Введем полный ток

Среднее значение по времени квадрата действительного тока по (§ 65) будет

Сопротивление и внутреннюю самоиндукцию мы определим уравнениями

и

Это значит, что должно дать тепло, выделяемое током за секунду, а среднюю магнитную энергию ноля, содержащуюся внутри провода. Если принять еще во внимание равенство

то (161) дает

или

Сила поля на поверхности провода составляется, следовательно, из омической части и индуктивной части фазы которой сдвинута относительно фазы первой части на 90°.

Чтобы действительно вычислить теперь значения из уравнения (162), мы должны еще выразить I через Согласно (160)

Интегрированием по поперечному сечению, в силу получается:

Полагая для сокращения глубину проникания

и сопротивление постоянного тока

из (162) получаем

Интегрируя дифференциальное уравнение (160) и подставляя найденное значение в (163), нолучжм технически важные величины т. е., следовательно, иовышение сопротивления, вызываемое скин-эффектом, и внутреннюю самоиндукцию. Уравнение (160) для случая цилиндрической симметрии при замене дает расстояние от оси провода):

где означает определенную выше глубину проникания

Это уравнение в общем виде решается при помощи Бесселевой функции нулевого порядка от комплексного аргумента Мы ограничимся приближенным решением, которое в обоих выше упомянутых предельных случаях можно отыскать непосредственно.

Особенно простую форму имеет второй предельный случай: сильный скин-эффект; В этом случае все процессы разыгрываются вблизи поверхности так что под знаком производной появляющееся явно можно считать постоянным (поверхность может рассматриваться как плоскость).

Тогда

а, следовательно,

и поэтому по (163)

Омическое сопротивление увеличилось, следовательно, по отношению к случаю постоянного тока раз.

Слабый скин-эффект; Введем в (164) независимую переменную

и разложим в уравнении

искомую функцию по степеням

Тогда для определения коэффициентов получается уравнение

а из него рекурсионная формула

Следовательно,

Эти коэффициенты дают теперь, согласно (163),

Если теперь снова разложить правую часть по и подставить для полученные значения, то получается

Обозначим для простоты силу скин-эффекта числом

тогда

Таким образом мы получаем представленную на рис. 54 зависимость величины от Значения для медной проволоки различных радиусов и для различных длин волн даны в нижеследующей таблице. Для ее вычисления мы исходили из численного значения для меди Согласно (164а) это дает

(см. скан)

Силы скин-эффекта для медной проволоки радиуса при различных длинах волн

Явление, весьма родственное скин-эффекту, имеет место при так называемом высокочастотном нагревании цилиндрических стержней. Это явление состоит в том, что нагреваемый стержень помещают в продольное переменное магнитное поле высокой частоты. Это поле создает в стержне электрическое поле, силовые линии которого окружают ось стержня кольцами. Джоулево тепло индуцированных таким образом круговых токов вызывает желаемое повышение температуры. В этом случае мы имеем, следовательно, на поверхности стержня опять то же самое электромагнитное состояние, которое создала бы линейно поляризованная волна, падающая на поверхность нормально; только теперь эта волна поляризована перпендикулярно к оси провода. По сравнению со скин-эффектом электрическая и магнитная силы поля поменялись, следовательно, своими ролями; в частности, уравнение (164) относится теперь к прониканию в нагреваемый стержень магнитного поля По его интегрировании и здесь комплексный вектор Пойнтинга непосредственно указывает Джоулево тепло и магнитную энергию поля в стержне.

Рис. 54. Скин-эффект. Возрастание омического сопротивления с величиной 2, даваемой уравнением (164а).