III. ЭНЕРГИЯ И МЕХАНИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

§ 35. Заряды и металлические проводники в пустоте.

Различие в представлениях Максвелловской теории поля и болез старой теории дальнодействия выступает особо отчетливо, когда мы вычисляем работу, необходимую для того, чтобы осуществить данное электростатическое распределение зарядов, и при этом действуем следующим образом. Мы предполагаем, что отдельные заряды сначала удалены друг от друга на бесконечные расстояния и затем приводим их по отдельности, в ранее определенное для них место. Рассмотрим сначала случай, когда дело идет об отдельных точечных зарядах и пусть они приводятся из бесконечности в такое положение, при котором их взаимные расстояния друг от друга будут Сначала приведем на соответствующее ему место заряд При этом никакой работы еще совершать не надо, так как все остальные заряды находятся на бесконечном расстоянии. Приведем теперь заряд на расстояние от Для этого нужно совершить работу против кулоновского отталкивания

Поднесем теперь заряд при этом мы должны затратить

Будем продолжать таким образом далее, пока все зарядов не окажутся на своих местах. В общем мы должны затратить работу

которую также написать в виде

или также

где есть потенциал, создаваемый остальными зарядами на месте заряда.

Уравнение (91) по своей форме характерно для теории дальнодействия. Если уместен вопрос, где собственно локализуется затраченная работа, то, руководствуясь (91), мы ответили бы на него в том смысле, что потенциальная энергия сосредоточивается в отдельных зарядах, и что каждый из зарядов вносит в потенциальную энергию слагаемое Совсем иначе дается ответ в Максвелловской теории поля. Последняя рассматривает как носитель электрической энергии именно

поле и утверждает: каждый элемент объема того "пустого пространства", в котором существует электрическое поле, содержит благодаря этому энергию

Таким образом на конечный объем приходится энергия

Мы оправдаем это утверждение прежде всего тем, что покажем: работа А (91), затрачиваемая при вышеописанном взаимном приближении точечных зарядов, тождественна с увеличением энергии поля происходящим при этом процессе. Для этой цели обозначим через силы полей в любой точке наблюдения, создаваемые зарядами Тогда и поэтому

Если образовать энергию поля то прежде всего видно, что члены, даваемые первой строкой при взаимном приближении зарядов вообще не меняются. Действительно, например, есть энергия, приходящаяся только на первый заряд (она соответствовала бы работе, которую нужно было бы затратить, чтобы сгустить бесконечно тонкое облако зарядов в первый точечный заряд; для действительно точечного заряда она была бы даже бесконечно большой). Здесь мы должны рассмотреть только члены, обусловленные взаимодействием и стоящие в следующих строках. Если положить

где следовательно означает потенциал, образуемый всеми зарядами, за исключением первого, то вторая строка от дает для член

который мы можем написать по теореме Гаусса — уравнение (42) — в виде

В качестве ограничивающей поле поверхности возьмем, с одной стороны, бесконечно далекую сферу, которая не внесет ничего в общую

сумму, и малую шаровую поверхность, охватывающую первый заряд. На последней мы можем считать постоянным; далее интеграл

дает заряд так что в общем

После соответствующего преобразования остальных строк разность

действительно оказывается равной затраченной работе А.

Рассмотрим, например, смещение точечного заряда в некоторое соседнее положение; мы получим тогда теорему: работа, которую надо затратить при смещении любого данного точечного заряда, равна увеличению энергии поля, связанному с этим смещением. Следовательно, затраченная работа накапливается в поле в виде/потенциальной энергии.

Хотя случай точечных зарядов вследствие обращения поля в этом случае в бесконечность в вычислительном отношении является не особенно удобным, мы все же рассмотрели его первым, имея в виду его ближайшее отношение к закону Кулона. Если заряды распределены в объеме с плотностью то соответствующая связь в формальном отношении становится гораздо проще.

Формула Грина

дает теперь, если положить непосредственно

Слева энергия оказывается локализованной в элементах заряда которые находятся в местах потенциала величины Справа же энергия распределена по полю с плотностью —

В случае распределения зарядов по поверхности металлического проводника (поверхностная плотность заряда равна в формуле Грина становится равным нулю (если остальное пространство не имеет источников); но при этом слева остается интеграл, распространенный по поверхностям отдельных проводников

Поверхность распадается на поверхности отдельных проводников, на каждом из которых потенциалы имеют свои постоянные значения Но равно поверхностному заряду; следовательно

где означает заряд, находящийся на проводнике. Для энергии системы проводников получаем, следовательно,

Энергия конденсатора с зарядами и в на обкладках становится поэтому равной

если мы при этом обозначаем опять через емкость конденсатора.