§ 48. Магнитное поле постоянных токов.

Согласно открытию Эрстедта электрический ток всегда сопровождается магнитным полем. Магнитное поле бесконечного прямолинейного тока состоит из линий, кольцами окружающих проводник; плоскость этих колец нормальна к проводнику. Направление в таком кольце совместно с направлением тока образует при этом правый винт. Это поле уже не является безвихревым; интеграл , взятый по контуру, охватывающему ток, отличен от нуля. Промеры этого поля показали, что значение этого интеграла прямо пропорционально току, охватываемому тем контуром, по которому происходит интегрирование. Если обозначить коэффициент пропорциональности через то все результаты промеров открытого Эрстедтом поля можно свести к одному уравнению

причем путем интегрирования должен быть контур, охватывающий ток 1, а направление обхода должно совершаться как в правом винте.

В случае прямолинейного тока, мы получаем отсюда, беря за путь интегрирования окружность радиуса вокруг оси провода,

От общего уравнения (116) мы можем перейти к дифференциальному закону, подобно тому как это было сделано для закона Ома. Для этого предположим, что (116) справедливо и внутри проводника, по которому течет ток. Тогда через элемент поверхности протекает ток Применяя теорему Стокса, уравнение (63), получим уравнение, эквивалентное (116):

Для того, чтобы определить магнитное поле данного постоянного тока, можно, исходя из (116) или (116а), пользоваться различными методами: пли применяя непосредственно (116), или методами магнитного двойного слоя (о нем будет сказано ниже), или на основании закона Био-Савара, или, наконец, векторным потенциалом.

Метод непосредственного применения (116) быстро приводит к цели тогда, когда из соображений симметрии или еще каких-либо причин приблизительно известно распределение поля, как, например, в случае прямого провода с круговым сечением радиуса а. Если за путь интегрирования мы будем брать концентричные окружности вокруг оси провода, то

и

следовательно, вне и внутри проводе.

Известно, что в случае прохождения тока по очень длинной катушке, поле в основном сосредоточивается внутри этой катушки и ориентировано по ее оси. Если за путь интегрирования выбрать узкий прямоугольник, продольные стороны которого параллельны оси катушки, имеют длину равную 1 см, причем одна проходит внутри катушки, а другая вне ее, то для них просто равен полю внутри катушки, если только контур интегрирования находится достаточно далеко от концов катушки. Если число витков, приходящееся на каждый сантиметр катушки, то сквозь наш прямоугольник проходит ток Следовательно, поле внутри катушки будет

Этот результат остается в основном правильным и для катушки, согнутой в кольцо, если только диаметр сечения катушки мал по сравнению с диаметром кольца (ср. рис. 40, где путь интегрирования указан слева сверху).

Метод магнитного двойного слоя вытекает из следующего замечания: если рассматривать весь замкнутый путь тока I, то для всякого замкнутого пути, не охватывающего тока, интеграл равен нулю. Следовательно, если мы проведем произвольную поверхность таким образом, чтобы край ее как раз совпадал с контуром тока, то для всякого пути, не пересекающего этой поверхности, интеграл равен нулю; напротив, для любого пути, пересекающего эту поверхность один раз, он равен —

Рис. 40. К вычислению магнитного поля внутри кольцевой катушки.

Мы можем, исходя отсюда, вывести магнитное поле линейного тока из потенциала если подчиним этот потенциал условию, что при прохождении через запрещенную поверхность он претерпевает скачок, равный — Значит, согласно соображениям § 16, магнитное поле тока тождественно с магнитным полем окаймляемого им однородного магнитного двойного слоя момента Согласно этому мы можем, например, сейчас же вычислить поле на оси кругового тока радиуса а, если обратимся к вычислениям § 15, касающимся поля кругового диска, и заменим в формуле на и момент на Для центра круга получаем

Эта формула лежит в основе измерений тангенс-бусолью, посредством которой это поле сравнивается с полем земли. Когда дело идет о действии на большие расстояния, то в случае магнита оно зависит только от полного момента а в случае магнитного двойного слоя — только от значения интеграла Плоский контур тока, окаймляющий плоскость действует, следовательно, на больших расстояниях как постоянный магнит момента

Поэтому прямой катушке с полным числом витков и сечением соответствует магнитный момент

Закон Био-Савара для определения магнитного поля при данном распределении токов получается путем применения полученных нами ранее результатов, касающихся однородных двойных слоев Согласно этим результатам образуемое таким слоем, не имеющее источников поле можно представить в виде интеграла по ограничивающему контуру

Отсюда следует, что магнитное поле замкнутого тока можно рассматривать как сумму слагаемых, вносимых отдельными элементами тока в силу поля в соответствующей точке; слагаемые эти построены следующим образом: пусть имеется элемент тока и пусть радиус-вектор, проведенный из элемента тока в данную точку; тогда поле нормально к плоскости и по своей величине равно если а означает угол между Направление определяется из условия, что поступательное движение в своем собственном направлении и вращение, определяемое направлением вместе дают правовинтовое движение. Согласно (117) для центра кругового тока всюду перпендикулярен к постоянному по величине радиусу) получается значение

вполне соответствующее тому, которое выводится методом двойного слоя. Разложение тока на отдельные элементы, которое указывается законом Био-Савара (117), является однако до известной степени произвольным, так как в действительности эти элементы не могут существовать по отдельности.

Метод векторного потенциала получается простым преобразованием закона Био-Савара (117). Это уравнение позволяет, очевидно, написать

а для слагающих по осям координат, если мы обозначим через координаты точки наблюдения, в которой желаем определить а через место и составляющие линейного элемента

В самом деле, например,

Применим к (117а) общую формулу векторного исчисления

которая справедлива для любого вектора В и любого скаляра

Так как в (117а) мы должны дифференцировать только по координатам точки наблюдения, которые не входят в выражение то

поэтому

Рис. 41. Векторный потенциал А двух антипараллельных токов.

Здесь появляется как вихрь другого вектора который мы в § 18 назвали векторным потенциалом. Однако этот вывод верен только при отсутствии намагничивающихся веществ. В силу тождества вихрем векторного потенциала может быть лишь вектор, не имеющий источников, что для вообще говоря, не справедливо. Поэтому позднее в общей теории мы будем выводить из векторного потенциала не а вектор В, поле которого никогда не имеет источников. Его введение последует ниже.

Согласно член, вносимый элементом тока в величину вектора А, имеет всегда направление Поэтому способ векторного потенциала особенно выгоден тогда, когда нужно вычислить поле прямолинейных параллельных токов, так как тогда не может возникнуть никакого сомнения относительно направления А. В качертве примера вычислим поле двух параллельных токов I, протекающих по проводам в противоположных направлениях. За положительную ось х примем направление первого провода и вычислим в точке на расстояниях и от двух проводов (рис. 41). Очевидно, что в данном случае равны нулю. Произведем вычисление сначала для конечных проводов длины Согласно (118)

Положив сокращенно получаем

Рис. 42. Силовые линии между двумя параллельными проводами. Если по проводам текут равные, но противоположные токи, то окружности образуют места постоянного векторного потенциала А и одновременно силовые линии магнитного поля

Если, напротив, провода заряжены противоположными электростатическими зарядами, то те же самые окружности суть места постоянного потенциала Тогда окружности дают направление линий электрического поля.

Если теперь перейти к пределу то второе слагаемое обращается в нуль. Остается только

Таким образом кривые суть окружности, центры которых лежат на прямой, соединяющей в нормальной плоскости центры обоих проводов; при этом эти два центра по отношению к соответствующей окружности всегда являются сопряженными точками. Для магнитного поля теперь следует

Величина равна падению Аж; направление совпадает, напротив, с направлением кривых Строя кривые мы получаем в то же время точную картину хода линий поля вблизи обоих проводов.

В этом результате замечательно следующее обстоятельство: если по проводам не будет итти никакого тока, а вместо этого они будут противоположно заряжены, так что каждый сантиметр их длины имеет заряд и соответственно — то они создают электростатический потенциал величины

При этом есть диэлектрическая постоянная среды, окружающей эти провода. Значит, отличается от только некоторым численным множителем! Этот факт встретится нам в более общей форме еще раз (§ 67) при изучении волн в проводах.