§ 70. Комплексный вектор Пойнтинга в телеграфном уравнении.

Рассмотрим задачу предыдущего параграфа еще в другом виде; мы предположим, что для всех величин поля зависимость от с самого начала задается множителем

Положим в уравнениях Максвелла опять далее, для всякой функции поля появляющейся в этой задаче, имеют место уравнения

Мы не будем, однако, ограничивать наши уравнения случаем изолятора, а потому будем принимать во внимание также член для тока проводимости.

Тогда у нас имеются уравнения:

С помощью всего одной функции и удовлетворяются выражениями:

Для получаются тогда два различных уравнения. Одно из с):

и второе и в d) и е). Введем для краткости для материальной постоянной величину по формуле:

Тогда второе уравнение получит вид

Из (186а) и для компл ексной функции следует тогда дифференциальное уравнение

интегрирование которого, при соответствующих граничных условиях, могло бы дать комплексное "число волн“ . Это интегрирование при произвольно заданных численных значениях для изолятора и металла наталкивается, однако, на большие трудности. Приближение, данное в предыдущем параграфе, сводится к тому, что в изоляторе полагают правую сторону металле же, соответственно теории скин-эффекта § 66, считают малой по сравнению с Тогда вообще отсутствует в дифференциальном уравнении. Оно

получается дополнительно из пограничных условий (непрерывность тангенциальных составляющих

Покажем еще, как можно непосредственно прийти к результатам предыдущего параграфа, пользуясь теоремой о комплексном векторе Пойнтинга

(ср. (159а) и (159b)). Для его составляющей по получаем из (184а и b) непосредственно

Но равняется удвоенной магнитной энергии Беря интеграл по поверхности, проведенной нормально к проводам, получим, следовательно, соотношение между полным потоком вектора Пойнтинга в направлении проводов и магнитной энергией поля, приходящейся на сантиметр проводо. Так как в металле нужно положить а в изоляторе то это соотношение будет

Рассмотрим теперь два поперечных сечения наших проводов, находящиеся друг от друга на расстоянии в 1 см. Тогда представляет собой часть "комплексного потока энергии" сосредоточенную между двумя сечениями. И согласно

Найдем на основании этого уравнения приближенное значение "числа волн", для чего поступим следующим образом.

При вычислении электрической энергии поля пренебрежем продольной составляющей от Тогда согласно (184а и

Мы можем даже ограничиться при учете электрической энергии поля одним изолятором и поэтому имеем

магн. в изоляторе.

Кроме того, введем сопротивление, а также коэффициенты внешней и внутренней самоиндукции посредством уравнений

Затем в (187а) нам нужна производная по зависит от посредством множителя

так что

Здесь мы должны подставить из (187). При этом мы можем пренебречь второй частью (относящейся к металлу). Тогда из (187а) по сокращении на подучается

или также

отсюда

что находится в полном согласии с результатом, полученным и разобранным в предыдущем параграфе (уравнение