§ 37. Теорема Томсона.

Если в электростатическом поле под влиянием силы поля заряды движутся, то энергия поля уменьшается на величину совершаемой при этом работы. При этом заряды, поскольку они подвижны, будут стараться распределяться таким образом, чтобы энергия ноля имела наименьшее из всех возможных значений. В частности, если даны проводники, на которых заряды распределены вначале произвольным образом, то эти заряды перераспределяются так, что энергия поля становится минимальной. С другой стороны, мы знаем, что в электростатическом состоянии потенциал в проводнике является постоянным, и что весь заряд находится на внешней поверхности; мы ожидаем поэтому, что этому распределению зарядов действительно соответствует минимум энергии поля.

В свете такого ожидания докажем следующую теорему: пусть дана некоторая система металлических проводников, помещенная в диэлектрике, диэлектрическая постоянная которого есть произвольная функция координат. Повзрхности разрыва мы можем исключить, отнюдь не нарушая при этом общности, так как ведь каждую поверхность разрыва можно мысленно заменить непрерывным, но весьма быстрым переходом. Отдельные изолированные проводники несут на себе заряды

Пусть соответствующее электростатическое поле описывается векторами Это значит, что должны выполняться следующие условия на внешних поверхностях проводников

и

где и функции координат места заданы. К этим условиям, которые мы назовем общими, присоединяются чисто электростатические условия:

на каждом из отдельных проводников, атакже всюду

Пусть теперь какое-нибудь другое поле, о котором мы знаем только то, что оно удовлетворяет общим условиям и и что оно отлично от поля Мы утверждаем, что этого указания достаточно, чтоб доказать, что

если

означают энергии обоих полей.

Для доказательства положим

В силу условий и для введенных таким образом полей имеют место уравнения

Тогда

В силу

Воспользуемся теперь указанием о том, что должно быть безвихревым:

Согласно предположению внутри металла всюду равно нулю. Мы можем, следовательно, при вычислении объемного интеграла ограничиться областью, заполненной диэлектриком, в котором Таким образом

так как, согласно на каждом проводнике постоянен. Но этим теорема Томсона доказана. Действительно

больше чем как только в каком-нибудь месте пространства отлично от

Теорема Томсона выводит, следовательно, ноле, соответствующее равновесному распределению электричества, из некоторого принципа минимальности. Этот принцип вполне соответствует условию равновесия, которое имеет место для тяжелых тел в поле силы тяжести. Эти тела находятся в равновесии, и притом в устойчивом равновесии, когда потенциальная энергия силы тяжести в соответствующем положении принимает наименьшее значение. Подобным образом здесь мы видим, что равновесие электричества, находящегося на внешних поверхностях неподвижных проводников, характеризуется минимумом электрической энергии. Электрическая энергия играет поэтому здесь ту же самую роль, какую потенциальная энергия играет в обычной механике.

Предыдущие рассуждения показывают еще раз, что нельзя дать двух различных решений электростатической задачи. Доказанное неравенство означает как раз то, что для всякого поля которое удовлетворяет условиям и и отлично от электростатическое поля, энергия Если само поле есть поле электростатическое, то должно, кроме того, иметь место невозможно. Следовательно, не может быть двух различных решений электростатической задачи; условиями до электростатическое поле определяется однозначно.