§ 13. Двойные источники.

Рассмотрим два точечных источника с отдачами Пусть а — вектор, направленный от стока к источнику Тогда (рис. 11):

есть момент системы, состоящей из двух источников. Если одновременно заставить а стремиться к нулю, а к бесконечности, и притом так, чтобы их произведение сохраняло все время постоянное значение то получим двойной источник с моментом

Рис. 11. Двойной источник, или диполь как предельный случай двух равных и противоположных зарядов.

Точечный источник дает сам по себе в рассматриваемой точке потенциал Если итти от точки вдоль вектора а к точке то очевидно, что сток — образует в по величине точно такой же потенциал как источник в точке Отсюда следует, что оба источника вместе дадут в точке потенциал

Но по определению градиента

Составляющая от по х будет

Таким образом мы получаем потенциал двойного источника

в соответствии со вторым приближением в более общей формуле (51).

Если поместить двойной источник в начало координат, и если имеет направление положительной оси то (52) дает

Градиент в точке наблюдения и градиент в точке самого источника. Если суть координаты некоторой точки координаты точечного источника то при применении операций к функции расстояний между этими двумя

точками необходимо всегда обращать внимание на то, по каким координатам должно производиться дифференцирование: по координатам ли точки а, или по координатам точечного источника. Во избежание ошибок часто бывает целесообразно особым индексом (а или точно указать, какое дифференцирование подразумевается.

Тогда вектор имеет составляющие:

напротив, имеет составляющие:

Очевидно, что всегда

При выводе (52) мы дифференцировали по координатам точки Чтобы это оттенить особо, будет целесообразно писать: