§ 53. Магнитная энергия поля и Максвелловы натяжения магнитного поля.

Выше мы положили плотность энергии электрического поля равной и обосновали это допущение тем, что доказали, что работа, совершаемая полем при смещении материи, равна уменьшению энергии поля

Для этого доказательства являлось существенным то, что всюду

где диэлектрическая постоянная, не зависящая от ноля В магнитном же поле, по крайней мере при наличии постоянных магнитов, такой пропорциональности векторов не существует. Нельзя поэтому для магнитной энергии поля написать по аналогии с выражение Что подобное допущение неправильно, видно уже из того, что для поля любых постоянных магнитов (в отсутствии токов) это выражение всегда равно нулю. Ибо тогда что совместно с достаточно для того, чтобы и интеграл обратился в нуль.

Мы должны, следовательно, искать общее выражение для энергии магнитного поля но мы ограничимся при этом только такими

телами, у которых изменение индукции однозначно дается изменением силы поля. Рассмотрим сначала следующий элементарный случай: пусть дан стержень, согнутый в кольцо из какого угодно материала, с поперечным сечением и длиной На него равномерно намотан провод с сопротивлением В так, что на каждый сантиметр приходится витков. Предположим, что в этом проводе гальваническая батарея с электродвижущей силой поддерживает ток Тогда за время эта батарея совершает работу Если за это время индукция В изменяется на величину то в силу закона индукции Фарадея

Магнитное поле в кольце определяется через одно только I:

Следовательно,

Но есть объем нашего стержня. Мы приходим таким образом к выводу, что в выражение работы А входит не только Джоулево тепло, но еще и некоторая работа, которая, рассчитанная на единицу объема, дает Мы должны поэтому рассматривать последнюю величину как изменение энергии нашего стержня. Этот результат находится в соответствии с той величиной для скорости изменения магнитной энергии, которую мы имеи в уравнении (127).

Только что разобранный наглядный пример представляет, впрочем, частный случай того общего расчета, который привел к энергетическому уравнению (127). Точнее говоря, здесь дело идет об изменении свободной энергии, так как мы, — правда, совсем не упоминая об этом, — предполагали, что наши процессы — изотермические (ср. значение на стр. 237). Мы вернемся к этому в разделе для целей настоящего раздела этим обстоятельством можно пренебречь.

Предположим теперь, что индукция В известна как функция от например, посредством кривой намагничения, вид которой показан на рис. 45 (см. сл. стр.). Тогда, согласно только что полученному результату, за плотность магнитной энергии надо принять

что на рис. 45 соответствовало бы заштрихованной поверхности Выбор нижней границы представляется на первый взгляд

произвольным, но последующими рассмотрениями он будет вполне обоснован. Таким образом для полной магнитной энергии поля мы получим выражение

которое гласит, что для каждого отдельного элемента объема надо принимать в расчет как кривую намагничения, так и конечное значение или В.

Вычислим из выражения (129) для прежде всего взаимодействие между токами и магнитами. Для этого рассмотрим самое общее изменение, которое может претерпевать Остановимся на определенном элементе объема При движении материи в этом элементе изменяются не только но также и относящаяся к нему кривая намагничения, так что, например, заштрихованная на рис. 45 поверхность переходит в соседнюю поверхность обозначенную пунктирным контуром. Самое общее бесконечно малое изменение составляется из двух полос Мы имеем, следовательно,

Рис. 45. Кривые намагничения двух расположенных рядом элементов объема.

Первое слагаемое содержит действительное изменение В, второе обусловлено изменением кривой намагничения; означает при этом расстояние на рис. 45) между двумя кривыми намагничения, взятое при постоянном Таким образом мы получаем в сумме:

Для того чтобы не итти слишком далеко, положим, что рассматриваемый участок кривой намагничения прямолинеен, и, следовательно, В имеет вид

Остаточный магнетизм и величина должны быть каким-нибудь образом даны как функции материала и, значит, в виде функций координат. (Заметим только, что не представило бы затруднений рассматривать и как функцию от Здесь мы этого делать не будем.) Из (130) следует

или

Отсюда

Предположим, что скорость и движения отдельных материальных элементов объема дана и притом весьма мала. Тогда мы должны указать, как вследствие этого в данном месте пространства будут меняться во времени величины . В § 39 при вычислении сил в электрическом поле мы допустили вещественное изменение диэлектрической постоянной [уравнение (102)]. Будем здесь пренебрегать магнитострикцией в химически-однородных средах и соответственно этому примем, что в изучаемой нами частице величина не изменяется. Согласно уравнению (102) это равносильна следующему:

Положим также, что остаточный магнетизм частиц при движении не изменяется. Кроме того, чтобы не заходить слишком далеко, примем, что те частицы, в которых отлично от нуля, двйжутся как твердые тела. Последнее допущение практически оправдывается почти всегда. Тогда из постоянства следует, что поток через поверхность движущуюся вместе с материей, должен "быть постоянным. Отсюда, по (69а) или

Подставляя полученные значения для и в (130а), имеем

Первое и третье слагаемые с правой стороны нужно еще несколько преобразовать. Интегрируя по всей системе и пользуясь (67), мы получим для третьего слагаемого

Чтобы вычислить в выражении для первое слагаемое, яемся опять к уравнениям поля

Умножим первое из них на второе на сложим и проинтегрируем по всей системе. Тогда имеющийся слева интеграл по поверхности от обращается в нуль. Остается

Но в материи, движущейся со скоростью и,

так что, мы получаем

Здесь по уравнениям (67) и (116а)

Соединим теперь все вместе и обозначим еще через

термически-химическую отдачу обоснование для этого обозначения дадим несколько ниже. Тогда для изменения во времени получается

где означает

Уравнение (132) полностью освещает вопрос относительно нахождения магнитной энергии в квазистационарном поле при любом движении

цепей тока и магнитов друг относительно друга: прежде всего за счет создается термически-химическая энергия В самом деле,

мы имеем

так что

составляется из необратимого Джоулева тепла и работы совершаемой против сторонних полей, - работы, которая проявляется как теплота Пельтье или как повышение свободной энергии аккумуляторов или элементов, находящихся в цепи тока. Наряду с этим потреблением энергии при движении материи появляется еще работа совершаемая полем за одну секунду.

Сила на единицу объема, представляемая (132а), составляется из трех характерных выражений.

а) Прежде всего на элемент объема, по которому проходит ток, действует сила

где, согласно (130), представляет индукцию, за вычетом остаточного магнетизма. Для элемента тока с сечением и силой тока I,

и, следовательно,

Если в месте провода остаточный магнетизм равен нулю, то сила, приходящаяся на элемент проволоки, будет

Вторая часть кот вполне аналогична электростатической силе

В частности, действие этого члена сказывается на поверхности раздела двух веществ с различными где он дает направленное наружу натяжение, приложенное к поверхаости материала, намагничивающегося сильнее.

Наконец, третье слагаемое удается формально интерпретировать путем введения "свободного магнетизма" на который, по аналогии с электростатической силой действует сила . В однородно поляризованном магнитном стержне концентрируется на двух концевых плоскостях, соответственно скачку нормальной составляющей

Максвелловы натяжения в магнитном поле. В § 42 мы видели, что полную силу, действующую в электростатическом поле на некоторый объем, можнр представить в виде интеграла, взятого по поверхности, ограничивающей этот объем. Покажем теперь, что наша сила (132а) позволяет сделать вполне аналогичное преобразование. При этом мы получим тензор магнитного напряжения который отличается от электрического тензора Те [уравнение (108)] только что всюду нужно заменить на на введенную в уравнение (130) величину Мы утверждаем, следовательно, что (132а) тождественно с

Прежде всего правая часть этого уравнения при любых и тождественна с

в чем легко убедиться непосредственным вычислением. Но это выражение действительно полностью совпадает с (132а), если только принять еще во внимание соотношения

Мы можем теперь описание натяжений в электрическом поле, сделанное нами в § 42, дословно применить к магнитному полю: сила, действующая на произвольно ограниченный объем, эквивалентна системе поверхностных сил

При этом величина равна

направление определяется тем, что угол, образуемый внешней нормалью делится силовой линией поля (направлением пополам.