§ 59. Векторная диаграмма.

Вычисление величин переменного тока становится короче и нагляднее, если пользоваться комплексными выражениями и графическим представлением. Мы иллюстрируем это на только что рассмотренном простом примере.

Векторная диаграмма. Представим величины переменного тока в виде векторов в комплексной плоскости. Так, например, переменное напряжение представляется вектором, длина которого и который образует с действительной осью угол Конечная точка этого вектора в течение периода описывает вокруг нулевой точки окружность. Проекция этого вектора ОА на действительную ось в каждый момент дает вещественное значение напряжения.

Рис. 46. Комплексное изображение переменного тока.

Рис. 47. Векторная диаграмма для цепи тока с сопротивлением В и самоиндукцией

Для вычислений с такими комплексными векторами действуют следующие правила: сложить две величины значит найти геометрическую сумму соответствующих векторов (параллелограмм). Умножить величину на значит повернуть в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) первую величину на угол и умножить ее длину на В. Умножение на мнимую единицу означает положительный поворот на 90°.

Дифференцирование по при процессах с циклической частотой равнозначно умножению на так что наше уравнение переменного тока

переходит в простое векторное уравнение

которое связывает комплексные векторы следующим образом: пусть для произвольного значения I (рис. 47) равняется Тогда вектор перпендикулярен к вектору (отрезок Из обоих векторов геометрическим сложением получается Если представить себе всю фигуру вращающейся как неизменное целое вокруг

нулевой точки с циклической частотой то проекции С на вещественную ось (или также на мнимую ось) в каждый момент времени дают значения тока и напряжения. Уравнения для кажущегося сопротивления и разности фаз можно непосредственно получить из рис. 47.

Мощность сторонних в каждый момент будет

Средняя мощность за один период будет, следовательно,

т. е. равна половине скалярного произведения векторов и

Совершенно равнозначное выражение для средней мощности получается непосредственно из положенного в основу вещественного дифференциального уравнения

а именно

При процессах, периодических во времени (например, переменный ток), последнее слагаемое в среднем равно нулю, так что

Средняя мощность переменного тока тождественно равна выделяемому Джоулеву теплу.

Эта теорема справедлива, впрочем, также в случае гораздо более общего уравнения (147). Именно, если каждое из уравнений (147) помножить на и все их сложить, то в силу для процессов, периодических во времени, получится

Если умножить уравнение (148а) не на I, а на то при образовании среднего значения во времени получают

следовательно, деля на

Но здесь справа стоит амплитуда магнитной энергии поля, умноженная на В электротехнике переменного тока называют величину

эффективной мощностью; величину

наоборот, безваттной мощностью.