§ 14. Вычисление безвихревого векторного поля из поля источников.

В § 12 мы рассмотрели только поток, образуемый точечными источниками. Допустим теперь, что наряду с точечными источниками, с отдачами имеются также источники, распределенные в пространстве непрерывно. Для этого введем новую функцию координат по формуле

Тогда дает как раз массу жидкости плотности вытекающей ежесекундно из элемента объема потенциалу образуемому точечными источниками присоединяется теперь действие источников распределенных во всем пространстве. Естественно» предположить, что общий потенциал

или, в более полном виде:

Выведем теперь эту формулу вполне строго; но предварительно убедимся в том, что безвихревый поток однозначно определяется своими источниками. Для этого формулируем еще раз задачу, решением которой должно являться выражение (54):

Ищется поле потока со следующими свойствами:

a) поле должно быть безвихревым, т. е. может быть представлено ;

b) всюду конечна и непрерывна, равно и ее потенциал за исключением однако отдельных точек пространства (точечные источники). В самом точечном источнике разность

должна быть конечной и непрерывной расстояние от точечного источника); называется тогда отдачей источника;

c) в остальной части пространства должно быть заданной функцией места;

d) все источники должны лежать на конечном расстоянии, т. е., другими словами, можно указать такой конечный отрезок что вне сферы радиуса нет ни одного источника, и потому там всюду равно нулю.

Приведем сначала доказательство однозначности решения; для этого допустим обратное: пусть существуют два поля и которые удовлетворяют всем условиям от а) до и пусть они имеют потенциалы и соответственно Применим к разности

формулу Грина (44), в которой как так и заменим через

причем будем производить интегрирование по всему бесконечному пространству. Тогда левая сторона обращается в нуль, так как в силу условия стремится к нулю как как в то время как поверхность стремится к бесконечности лишь как На правой стороне всюду равно нулю, так как и обладают равными иеючниками, а потому наверное не имеет источников. Таким образом мы получаем для вектора результат

который может иметь место лишь тогда, когда вектор всюду равен нулю. Таким образом оба решения совпадают; поставленная задача ни в каком случае не может иметь больше одного решедия. Векторное поле, которое везде является безвихревым, не имеет нигде источника и исчезает в бесконечности, должно поэтому везде равняться нулю.

Чтобы найти теперь самое решение, применим к нашей задаче теорему Грина в форме (45):

здесь под будем подразумевать искомую потенциальную функцию, а положим равной

где означает расстояние точки, для которой мы как раз хотим определить потенциал Границей области интегрирования будем считать, с одной стороны, замкнутую поверхность, уходящую в бесконечность, с другой стороны — малые шаровые поверхности, вырезающие источники и рассматриваемую точку (рис. 12). Большая внешняя поверхность, по только что высказанному соображению, не вносит в левую сторону (45) ничего. Сфера, окружающая первый точечный источник дает

так как согласно предположению вблизи точечного источника может быть представлено конечные члены. Конечные члены однако ничего не дадут, если сфера стягивается в точку. Ничего не внесет и слагаемое так как при переходе к пределу величина поверхности стремится к нулю как При этом переходит в величину обратную расстоянию точки наблюдения от первого источника.

Рис. 12. К вычислению безвихревого векторного поля по его источникам.

Таким образом точечный источник, вносит собой

Подобное выражение получается для всех остальных источников. Сфера вокруг точки наблюдения дает

Производя над этим выражением такой же переход к пределу как над предыдущими, получим

С правой стороны должно по условию равняться становится равным нулю. Таким образом получим

Это и есть уравнение для потенциала в полном соответствии с данным выше выражением [уравнение (54)].