§ 25. Распределение электричества на проводниках.

При постановке задач в электростатике дело в большинстве случаев обстоит не так просто, что задано распределение электричества и можно вычислить потенциал по (78а, Ь). Распределение электричества на металлических телах само определяется некоторыми условиями, к установлению которых мы теперь и перейдем. В § 22 мы уже упоминали о свойстве металлической проволоки проводить электричество от полюса батареи к телу. Тела, обладающие этим свойством, называют проводниками электричества, тела же, у которых подобное свойство отсутствует, называют изоляторами. Эту классификацию тел не всегда удается провести вполне строго.

Решение вопроса о том; нужно ли называть предмет проводником или изолятором, теснейшим образом связано с продолжительностью наблюдения. Если поместить предмет в электростатическое поле, то сначала во всяком случае внутри предмета возникает поле, и следствием этого поля всегда является электрический ток. Этот ток имеет стремление произвести на поверхности предмета такое распределение зарядов, которое могло бы как раз компенсировать внешнее поле внутри предмета. Если такое состояние достигнуто, мы имеем перед собой опять электростатйческое состояние, при котором внутри тела поле всюду равно нулю. При этом возможны два крайние случая. Либо время, необходимое для достижения этого конечного состояния, мало по сравнению с продолжительностью наблюдения (например, секунды). Тогда поле, которое мы будем видеть внутри тела, всегда будет равно нулю. Такое тело мы будем называть проводником. Либо это время очень велико (дни и месяцы). Тогда ток становится настолько малым, что при нашей обычной продолжительности наблюдения он не оказывает влияния на наши измерения. В этом случае мы говорим об изоляторе. Чистая электростатика имеет дело только с идеальными телами — именно с такими, у которых это время бесконечно мало (металлы) или бесконечно велико (изоляторы). Цоэтому металлы с точки зрения электростатики характеризуются тем, что внутри их поле всюду равно нулю. Или, другими словами, электростатический потенциал внутри проводника постоянен.

Итак поле, образованное различно заряженными кусками металла в пространстве, вообще свободном от зарядов, можно описать следующим образом: во всем внешне пространстве действует соотношение:

в пространстве, занимаемом самим металлом, нет никаких зарядов, так как нет никакого поля.

Но на поверхности металла имеются распределенные по ней источники силы так как наружу от нее исходит поток сил; он равняется если и — нормаль, направленная в окружающее воздушное пространство.

Произведение поверхностной плотности электричества на равно потоку сил, исходящему из единицы поверхности. Он будет

Следует также учесть, что на границе раздела воздуха и металла, кроме поверхностно распределенных источников силового потока, могут находиться также двойные источники. В самом деле, однородный двойной слой, согласно § 16, не вызвал бы никакого изменения поля как снаружи, так и внутри. В этом именно и заключается трудность экспериментально установить его наличие. Поэтому вначале таких двойных слоев мы учитывать не будем.

Если известно безвихревое поле вектора то можно вычислить распределение электричества по (79). Наоборот, если бы было

известно распределение электричества на поверхности проводника, то можно было бы вычислить поле с помощью Но та, ни другая постановка задачи не отвечает действительности. Основная задача электростатики такова: в воздушном пространстве, в котором зарядов нет, для электростатического потенциала имеет место уравнение Лапласа

На поверхности каждого из шроводников должно принимать постоянное значение

Это же значение должно сохраняться и внутри проводника, так как здесь должен обращаться в нуль градиент потенциала. Для каждого из проводников наперед заданным является либо это значение потенциала, либо его общий заряд

а искрмым является соответствующее решение ладласовского уравнения; если это решение известно с точностью до аддитивной постоянной, то электрическое поле однозначно определяется градиентом Определенное таким образом поле есть поле Действительно электростатическое; соответствующее распределение зарядов действительно имеет место случае равновесия.

То, что эти уравнения действительно определяют поле однозначно, следует опять из теоремы Грина, которая в применении к пространству, ограниченному поверхностью металла, гласит:

Допустим, что имеются два решения задачи тогда для функции на всяком элементе поверхности или Тем самым во всем пространстве а это значит, что и могут различаться разве на аддитивную постоянную, что может иметь место в том случае, когда для каждого проводника задан заряд Но если хоть для одного из проводников задан самый нотенццал то тем самым всюду определена и абсолютная величина потенциалу.