II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОКОЯЩИХСЯ СРЕД

§ 52. Максвелловы уравнения для неподвижных тел.

Мы можем теперь составить Максвелловские уравнения для покоящихся тел в окончательной форме. Правда, уравнение (116а)

для магнитного поля системы постоянных токов требует существенного и важного дополнения для случая, когда линии тока не замкнуты»

а, наоборот, как, например, на обкладках конденсатора, прерываются В таких местах расхождение не равно нулю, в время как левая сторона (116а) всегда являемся свободной от источников Поэтому, если мы хотим иметь уравнение, верное для общего случая, то надо либо искать совсем нового соотношения, либо путем присоединения более общего вектора сделать правую часть также свободной от источников. Максвелл избрал последний путь; рассмотренный уже в § 44: источник неизбежно связан с уменьшением во времени плотности заряда в соответствующем месте, и притом по теореме Гаусса

С другой стороны, плотность заряда равнозначна расхождению вектора смещения

а следовательно,

Ото уравнение гласит, что вектор

нигде не имеет источников. а образом нужное дополнение для тока проводимости найдено. Это есть ток смещения

введение которого в основные уравнения образует стержень всей Максвелловской теории. Это есть единственное, но зато решающее различие между воззрениями Максвелловской, теории и более старой теории дальнодействия.

К обобщенному таким образом уравнению (116а) присоединим три других, а именно: закон индукции (126) и два условия (87а) и (121) относительно источников Таким образом имеем четыре фундаментальных уравнения:

Это — окончательные уравнения Максвелловской теории для покоящихся тел. Чтобы система стала полной, сюда

надо присоединить еще три других уравнения, дающих связь между векторами В и силами поля Если с помощью Этих трех добавочных уравнений исключить указанные три вектора из уравнений (IV), то тогда, только тогда, возможно по данному начальному состоянию однозначно определить течение процесса во времени. В простейшем виде мы имеем эти три дополнительные уравнения для случая изотропных не ферромагнитных тел с тремя материальными постоянными электропроводностью диэлектрической постоянной и магнитной проницаемостью а именно:

Все три уравнения (V), (VI), (VII) связаны, таким образом, особыми свойствами имеющейся в поле материи. Уже по одному этому они никогда не будут обладать той точностью и общностью, которую мы можем требовать от уравнений (IV), за исключением разве пустоты, где в точности Помимо того, что совершенно неприменимо к ферромагнитным веществам, уравнение оставляет в стороне такие явления, как явление диэлектрического последействия или остаточный заряд в Лейденских банках. Далее, уравнение (VI) неприменимо также и в том случае, когда мы переходим к полям, быстро изменяющимся во времени (световце волны). Опыт показывает, что в этом случае становится функцией частоты переменного поля, так что о нем тогда уже нельзя говорить как о постоянной данного вещества. Выяснение сущности и теоретическое вычисление величин введенных здесь как специфические "постоянные" для данного вещества, подробно даются в электронной теории.

Интеграл энергии Максвелловых уравнений. Если умножить уравнение (I) на - Е, а (II) - на Н и полученные уравнения сложить, то непосредственно получается

Мы воспользуемся тождеством

интегрируя по любому объему и умножая на получим

Уравнение (127) основывается рлько на сирого верных уравнениях поля до (IV); мы должны поэтрцу приписывать ему строгую правильность в случае покоящихся тел.

Рассмотрим здесь (127) сначала только для случая, когда дополнительные уравнения (VI), также удовлетворяются. Тогда

Это уравнение будем читать следующим образом: электромагнитное поле обладает плотностью энергии

Если полная энергия содержащаяся в объеме уменьшается, то согласно (127а) эквивалентно этому уменьшению появляются три вида энергии: прежде всего необратимое джоулево тепло и работа совершенная против сторонних сил. Назовем обе величины вместе термически-химической мощностью поля. В уравнении (127) она представлена членом например, ниже уравнение

Наряду с этим, в качестве третьей причины уменьшения энергии поля появляется интеграл по поверхности

Таким образом принцип сохранения энергии требует, чтобы через поверхность рассматриваемой области проходил поток энергии (энергия, проходящая за одну секунду чецэез называется вектором Пойнтинга или векторов излучения. Мы займемся им подробно в теории электромагнитных волн. Подчеркнем при этом, что только интеграл распространенный по замкнутой поверхности, имеет физическое значение энергии, вытекающей наружу из области, ограниченной этой поверхностью.

Сам вектор может значительно отличаться от нуля, а при этом все же никакого заметного переноса энергии не будет. Представим себе хотя бы такой случай, что на электростатическое поле накладывается магнитное поле. может тогда принимать любые значения, но при этом всегда так что не оказывает никакого влияния на энергетический баланс.

Формулировка принципа энергии (127) правильна только для покоящихся тел. Поэтому она не содержит выражения для механической работы, какое, например, мы подробно рассматривали выше для случая электрического поля; подобное же выражеете будет разобрано в следующих параграфах особо для случая, магнитного поля.

В следующей главе, относящейся к постоянным токам, мы будем пренебрегать характерным для Максвелловской теории током

смещения по сравнению с током проводимости При достаточно медленном изменении поля это является до воленным. Как мы увидим в дальнейшем, технические переменные токи всегда можно рассматривать как величины, изменяющиеся в указанном здесь смысле медленно.

Естественно, что таким способом должны получаться только такие результаты, которые были доступны также в до-Максвелловской теории дальнодействия. Как мы увидим позднее, учет тока смещения дает конечную скорость распространения электромагнитных возмущений. Пренебрежение согласно (1) равнозначно т. е. равнозначно допущению квазистационарных токов. Можно ожидать, что при токах, изменяющихся во времени, это пренебрежение справедливо тогда, когда время, в течение которого токи успевают заметно измениться, велико по сравнению со временем, необходимым для того, чтобы электромагнитные возмущения распространились от одного конца установки до другого.

Ток смещения становится существенным только при рассмотрении быстропеременных процессов; потому собственно Максвелловская теория выявляет всю свою плодотворность только при рассмотрении электромагнитных волн.