§ 27. Вытянутый эллипсоид вращения.

Рассмотрим теперь проводящий вытянутый эллипсоид вращения, который заряжен электричеством; спрашивается, каково его поле, и какое значение имеет его емкость. Если говорят о емкости эллипсоида, как такового, то предполагается, что концы силовых линий потока, исходящего из поверхности, находятся на очень большом расстоянии — скажем, на шаровой поверхности, концентричной с эллипсоидом. Математически надо задачу формулировать следующим образом (§ 25): внутри пространства, ограниченного двумя проводниками, потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа

на поверхностях проводников он принимает постоянные значения

градиент направлен нормально к этим поверхностям и согласно (79) пропорционален поверхностной плотности

При этом остается пока до известной степени произвольной; задан только общий заряд

В большинстве случаев важно знать не столько распределение электричества, как значение емкости; это значение будет известно, если мы найдем потенциалы обоих проводников; тогда емкодвд, равна

Так как не существует общего метода решения основной задачи электростатики для любой формы проводника, то мы найдем емкость вытянутого эллипсоида вращения особым путем, применимым только для этой специальной формы проводника. Воспользуемся нашей гидродинамической аналогией и представим, себе, что на прямой, соединяющей фокусы эллипсоида, равномерно расположены источники. Мы покажем, что эквипотенциальными поверхностями соответствующего безвихревого поля является конфокальные эллипсоиды вращения, и что это поле обладает и остальными требуемыми свойствами.

Рис. 27. К вычислению потенциала заряженного отрезка длины

Положим отдачу всего отрезка длины равной Если есть расстояние точки наблюдения от точек линий источников, то потенциал

представляет решение Лапласовского уравнения (82). Отложим ось вдоль линии источников, а начало координат поместим в среднюю точку этой линии, так что

и мы получаем

где суть расстояния точки йаблюдения от конечных точек линии источников, характеризуемых Если положить сокращенно (рис. 27)

то для эквипотенциальной поверхности, согласно (83),

должно быть постоянным, или

Еслж разделить это уравнение на соотношение, получающееся из теоремы Пифагора

то мы инеем

или

Вычтем из этого уравнения (83а); тогда, располагая отдельные члены в другом порядке, получим: 1

Сумма расстояний всякой точки от двух постоянных точек 1 и 2

оказывается для эквипотенциальной поверхности постоянной; это значит, что эти поверхности суть эллипсоиды вращения с большими осями

На очень больших расстояниях становится равной а также Потенциал на поверхности шара, находящегося на очень большом расстоянии, равен нулю. Если представить себе, что один вытянутый эллипсоид из вышеуказанного семейства является проводящим, то поле в пространстве, ограниченном с одной стороны этой поверхностью, а с другой стороны — очень, удаленной сферой, удовлетворяет всем условиям электростатической задачи. Поле является здесь безвихревым; источников в нем нет; общий поток сил, исходящий из этого эллипсоида, равен отдаче линии источников; наконец, обе проводящие поверхности, ограничивающие поле, суть эквипотенциальные поверхности. Поэтому условия (82), (82а), выполнены. Так как, согласно § 25, эти условия определяют электростатическое поле однозначно, то есть потенциал искомого поля.

Из уравнения для 2а получается

если подставить это значение в (83), то получаем

так как, кроме того, для очень удаленной сферы (для )

то емкость С вытянутого эллипсоида вращения определяется выражением

Для очень вытянутых эллипсоидов, т. е. для малых значений частного получаем

Емкость такого стержнеобразного проводника, который можно, например, осуществить при помощи проволоки с круговым поперечным сечением, уменьшающимся к концам, получается тем меньше, чем меньше толщина при заданной длине. Распределение электричества в этом предельном случае повторяет равномерное покрытие отрезка, соединяющего фокусы, как это было предположено нами выше для вывода потенциала. Электричество распределяется поэтому на стержнеобразном проводнике таким образом, что на равных длинах проволоки находятся равные заряды.