§ 20. Криволинейные ортогональные координаты.

Многие вычисления электродинамики можно значительно сократить, если вместо декартовой координатной системы пользоваться другой системой, учитывающей особые отношения симметрии в рассматриваемой схеме. Определим новые координаты таким образом, что прямоугольные координаты будут даны, как функции

Мы ограничимся случаем, когда три семейства поверхностей ортогональны друг к другу. Тогда элементарный отрезок представляется выражением вида

где могут в свою очередь быть функциями от Кроме того установим, что новая координатная система так же, как и первоначальная, будет правовинтовой системой. Рассмотрим теперь бесконечно малый параллелепипед, диагональю которого является элементарный отрезок а ограничивающие поверхности совпадают соответственно с плоскостями Его ребра равны тогда а объем равен Пусть далее некоторая скалярная функция, а А— векторное поле с составляющими по трем направлениям

Рис. 24. Криволинейные ортогональные координаты.

Для составляющей градиента по имеем непосредственно из рис. 24

или

и соответственно так же для направлений 2 и 3.

Для вычисления расхождения обратимся опять к теореме Гаусса: поток через поверхность в направлении внешней нормали равен — при этом поток через будет

аналогично и для двух других пар поверхностей. Складывая все эти выражения, получим общий поток

откуда следует уравнение

Первая составляющая вихря получается путем применения теоремы Стокса к поверхности Так например:

Следовательно

Циклической перестановкой индекса получаем составляющие и для двух других направлений.

Наконец, Лапласовский оператор получается комбинированием (70а) и (70b)

Приложим эти формулы к двум особо важным случаям:

а) Цилиндрические координаты

В этом случае мы имеем следовательна

Из (70а) получается

b) Полярные координаты.

Мы должны, следовательно, во всех уравнениях (70) до (70d) положить

Тогда