III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ.

§ 55. Закон энергии для системы линейных токов.

Положения, которые должны быть развиты в этой главе, большею частью уже содержатся в общих теоремах § 53 относительно энергии магнитного поля. В виду большого практического значения тех особых систём, которые мы должны здесь рассмотреть, мы разовьем их теорию совершенно самостоятельно и независимо от указанных более общих соображений.

Рассмотрим некоторое число проводников с токами; пусть они различаются индексами Пусть токи, проходящие по этим цепям, их омические сопротивления, -действующие в них сторонние электродвижущие сиды (аккумуляторы, термоэлементы, сеть переменного тока и т. п.). Постоянных магнитов пусть в не будет. Пусть далее индукция В всюду будет пропорциональна силе поля Н:

Проницаемость может быть произвольной функцией координат, но не должна уже зависеть от Тем самым мы вообще исключаем магнитнотвердые ферромагнетики. Если в поле имеются мягкие ферромагнитные вещества, то их намагничение должно находиться на прямолинейной

начальной части кривой (рис. 43а). При таких обстоятельствах магнитная энергия поля дается выражением

В силу того, что поле имеет источников, можно введением векторного потенциала заменить индукцию В на в результате чего получается:

Но При интегрировании по всей системе происходящий от интеграл по поверхности обращается в нуль, так что получаем

Если I означает силу линейного тока, его сечение, - линейный элемент проводника, то

Так как во всех местах провода, по которому течет ток, I имеет одинаковое значение, то энергия поля системы цепей тока будет

Интеграл по контуру контура тока по теореме Стокса будет

где означает опять поток индукции, охватываемый контуром тока.

Тем самым для энергии поля получаем окончательное выражение

Умножая силу тока контура поток индукции, охватываемый этим контуром, суммируя по всем цепям, получаем произведение на магнитную энергию поля.

Наряду с энергетическим уравнением (137), в качестве второго фундаментального положения возьмем закон индукции Фарадея, который для -того контура будет даваться выражением:

Для наших энергетических соображений нам понадобится понятие термически-химической отдачи

Последняя определяется как

следовательно, есть разность можду Джоулевым теплом выделяемым за секунду, и мощностью сторонней силы . Если, например, отрицательна, то это значит, что к соответствующему аккумулятору или элементу подводится энергия. Аккумулятор тогда, например, заряжается и за секунду накапливает в форме свободной химической энергии энергию — значит, во всяком случае представляет энергию, которая получается за секунду в виде теплоты или химической энергии.

Предположим далее, что отдельные контуры или их части движутся друг - относительно друга. Положение движущихся частей в данный момент пусть характеризуется известными параметрами

Так, например, если участок провода передвигается параллельно оси х, то может быть просто координатой х определенной точки этого участка. Определим силу соответствующую параметру следующим образом: если параметр изменяется на величину то при этом в соответствующем участке провода затрачивается работа Если, например, есть длина, то есть сила в обычном смысле слова. Если, наоборот, есть угол, то становится вращающим моментом. Пусть движение нашей системы проводов описывается тем, что заданы как функции времени. Так как все силы, кроме сил, создаваемых самим полем, исключаем из рассмотрения, то ежесекундная работа, совершаемая полем при таком движении, будет

Следовательно, А представляет количество энергии, которое ежесекундно приобретается нами в виде механической работы.

Энергия видов, отличных от тех, которые даются уравнениями (137), (138), (139), не должна входить в рассмотрение. Тогда, принцип сохранения энергии для замкнутой системы будет

Мощность термически-химического или механического вида может происходить только за счет энергии поля

Состояние нашей системы во всякий момент однозначно определяется значениями сил тока и параметрами характеризующими положение в пространстве. Мы будем поэтому

рассматривать энергию и потоки индукции как функции этих величин

означает в дальнейшем дифференцирование по причем все остальные I и величины при дифференцировании по остаются постоянными.

Рассмотрим прежде всего процессы без получения механической работы. Это значит, что параметры не изменяются. Кроме того, мы можем ограничиться случаем, когда меняется только ток а все остальные величины остаются постоянными. Тогда, согласно (137),

и согласно (138)

Так как теперь А равняется нулю, то уравнение (140) с данными значениями и дает

Этот результат дает возможность сделать важное преобразование выражения для изменения анергии во времени в случае процессов, соединенных с получением работы, т. е. уже при любых изменениях 1% и Тогда прежде всего

а потому по (141а)

С другой стороны, как следует непосредственно, из (137), во всех случаях

Вычитание двух последних уравнений друг из друга приводит к

Подставляя последнее выражение, а также значение из (138) в уравнение энергии (140), получим ежесекундно приобретаемую работу

Согласно (139), тем самым определены обобщенные силы относящиеся к параметрам

Итак, если магнитная энергия известна, согласно (141), как функция сил тока I и координат положения а, то частная производная по дает ноток индукции (141а), охватываемый проводником, а частная производная по силу соответствующую координате

Особого внимания заслуживает уравнении знак. Именно, если в обычной механике потенциальная энергия дается как функция координат положения, то, как известно, силы получаются частным дифференцированием отрицательной энергии (или отрицательного потенциала) по соответствующей координате. Согласно отрицательная магнитная энергйя играет, следовательно, роль потенциала. В то время как в механике силы действуют в таком направлении, что при этом потенциальная энергия уменьшается (производство работы за счет потенциальной энергии), наши электродинамические силы показывают обратное поведение: они действуют в таком направлении, при этом магнитная энергия поля возрастает. Особенно ясным это поведение становится тогда, когда при движении силы тока держатся постоянными, — например, путем соответствующих изменений сторонних сил (включение или выключение аккумуляторов). Тогда для всех и мы получаем из (139), (141b), (141с) просто

В этом случае энергия поля увеличивается, значит, как раз на величину совершенной работы. Если имеются провода, по которым текут токи, и силы последних поддерживаются постоянными, а сами провода движутся друг относительно друга, так что при этом совершается

работав, то энергия поля увеличивается на величину, равную А. Ежесекундно приобретаемая энергия величины уравновешивается мощностью сторонних сил, с помощью которых достигается постоянство сил тока. В самом деле, согласно (140):

А по

есть мощность сторонних сил в контуре тока. Значит есть действительно разность между мощностью сторонних сил и Джоулевым теплом.

Из формулы (137) для следует, учитывая направление механических сил, что всякий провод, по которому течет ток, стремится охватить возможно больший поток индукции. Количественное значение силы мы уже вывели раньше [уравнение (134)]. Позднее мы вернемся еще в этому после обсуждения уравнения (141а).