§ 65. Вектор Пойнтинга в стационарном поле и в иоле периодическом во времени.

В § 52 мы познакомились с вектором Пойнтинга

как с потоком энергии. Для области, ограниченной произвольной замкнутой поверхностью, уменьшение во времени энергии, содержащейся в этой области, было равно термически-химической отдаче плюс потоку энергии через эту ограничивающую поверхность, даваемому вектором . В стационарном поле энергия поля является постоянной во времени.

Отсюда следует, что в этом случае поток энергии — ,

втекающий в рассматриваемую область, в точности равен термически-химической отдаче в этой области. Напротив, в поле, периодическом во времени, величина энергии изменяется, но, однако, только таким образом, что она колеблется около некоторого среднего значения. Поэтому среднее значение энергии поля за один период будет иметь и здесь постоянное значение, так что и в этом случае вектор Пойнтинга непосредственно укажет Джоулево тепло, выделяемое в замкнутой области.

Рассмотрим сначала стационарную линейную цепь тока, поддерживаемого сторонними силами. Если есть поперечное сечение провода в каком-либо месте, то прежде всего для полного тока I, согласно § 45, имеет место общее уравнение

Рис. 53. Положение на поверхности провода, по которому течет ток

При "линейном" токе мы считаем во всем сечении постоянными. Мы можем далее ограничиваться составляющими параллельными направлению оси провода. Обозначим через

омическое сопротивление, приходящееся на единицу длины пути тока. Мы имеем

Вычислим поток энергии Пойнтинга через цилиндрическую поверхность длины 1, лежащую в пустоте, но тесно охватывающую провод. проходит параллельно оси провода, перпендикулярно к ней; следовательно, направлено нормально к поверхности провода. Величина потока энергии внутрь рассматривав мого цилиндра будет, следовательно,

так как ведь Энергия, входящая в провод на протяжении каждого сантиметра его длины, будет поэтому

Следовательно, в местах, где действуют сторонние силы, энергия течет от провода в поле; там же, где внделяется Джоулево тепло, энергия течет обратно от поля в провод. Полный поток энергни, взятый по всему пути ток», равен, конечно, нулю, что в силу безвихревого характера непосредственно получается также из

уравнения Если сторонние силы отсутствуют, то 8 непосредственно равняется Джоулеву теплу выделяемому в участке, длина которого равняется единице.

При полях, периодических во времени, эта связь между средними по времени значениями остается неизменной. Представим этот факт в несколько иной форме, удобной для некоторых применений; для этого ограничимся строго синусоидальным ходом изменения во времени и будем пользоваться при этом комплексными выражениями. Тогда самую общую функцию подобного рода с циклической частотой можно написать в виде

где, следовательно, а является комплексной функцией одних координат. Обозначим теперь горизонтальной чертой среднее по времени значение, звездочкой — переход к сопряженной комплексной величине. Тогда, в силу имеем:

Если теперь две функции

представлены в комплексной форме, то в дальнейшем нам понадобится произведение соответствующих вещественных величин. Обозначим через вещественную часть от тогда

и мы получаем

при образовании среднего значенжя по времени Далее, является еожряжежной с комилексной величиной так что имеем

При полях, периодически изменяющихся во времени с циклический частотой комплексные выражения являются весьма удобными для

вычислений, потому что тогда все дифференцирования по появляющиеся в линейных уравнениях, могут быть заменены умножением на соответствующую степень от

Тогда уравнения Максвелла будут иметь вид

Чтобы применить к комплексным векторам правило напишем в сопряженно юмплексной форме (заменяя на

Если теперь умножить на а на то, согласна правилу (67), получается

Следовательно, если образовать комплексный вектор Пойнтинга

то вещественная часть от дает выделяемое Джоулево тепло, так как представляет собой, согласно (2), среднее по времени от квадрата (действительной) силы поля. Но, ироме того, благодаря (159), мнимая часть от тоже получает конкретное значение: именно она дает разность между средней магнитной энергией и средней электрической энергией, умноженную на Отсюда для замкнутой области

где означает Джоулево тепло, выделяемое в этой области, среднее значение содержащейся в ней энергии поля магнитной: и соответственно электрической природы.

В следующей главе мы применим эту теорему ко внутренней части провода, в котором ток распределен уже неравномерно по сечению (скин-эффект). Так как здесь, согласно всегда исчезающе мало по сравнению с то вещественная часть от (159а) дает Джоулево тепло, а, следовательно, и омическое сопротивление; при этом мнимая часть даст магнитную энергию поля, а, значит, ту часть самоиндукции, которая приходится на внутреннюю часть провода.