IV. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

§ 43. Законы Ома и Джоуля.

Из тех уравнений, которыми мы до сих пор пользовались при описании электростатического поля, некоторые остаются справедливыми и в дальнейшем при более общих электромагнитных процессах. Сюда относятся уравнения, выражающие

зависимость между связь между расхождением и электрическими зарядами и выражение для плотности электрической энергии, т. е.

Наоборот, только электростатике принадлежат уравнения в проводниках, т. е., значит, безвихревый характер и обращение в нуль внутри однородных проводников электричества.

Откажемся теперь от последнего из этих двух условий. Экспериментально осуществим это, например, тем, что мы обкладки конденсатора, заряженного до разности потенциалов соединим металлической проволокой. При наличии такого металлического соединения потенциал в проволоке сейчас же перестает быть постоянным, так как на ее концах он имеет значения Внутри проволоки возникает поэтому электрическое поле, и условие электростатического равновесия уже не выполняется. И, действительно, через проволоку заряды конденсатора выравниваются. Равновесие вновь наступает только тогда, когда заряды, а потому и поле конденсатора исчезнут. Во время такого выравнивания по проволоке идет электрический ток, сила которого будет

Что при таком изменении заряда конденсатора во времени действительно в проволоке что-то происходит, можно судить по тому, что в ней наблюдается выделение тепла, и что в окружающем ее пространстве оказывается магнитное поле. Появление магнитного поля обусловливает собой усложнение процесса, которым мы будем заниматься во всей полноте лишь в дальнейших главах. Пока сила тока I остается постоянной, не изменяется и образуемое им магнитное поле. Вследствие этого мы можем в известной мере говорить о законах стационарного (это значит: постоянного во времени) тока, совсем не касаясь при этом сопровождающего его магнитного поля. Правда, в нашем примере мы можем только приблизиться к условию постоянного тока, для чего должны выбрать сопротивление проволоки и емкость конденсатора возможно большими. Осуществление вполне постоянного тока невозможно со средствами чистой электростатики. Достигают этого только тем, что с помощью особого приспособления, которое чуждо чистой электростатике, искусственно поддерживают постоянство напряжений на обкладках конденсатора (например, с помощью гальванических элементов, аккумуляторов или термоэлементов). Мы вернемся к этим приспособлениям в следующих параграфах.

Остановимся пока на приближающемся к стационарному разряде конденсатора с очень большой емкостью. Измеряя скорость разряда можно показать справедливость закона Ома

И называется сопротивлением проволоки и зависит только от материала и размеров последней. Если I означает длину проволоки, ее поперечное сечение, то

где теперь величина зависит только от материала проволоки.

Величину называют электропроводностью, называется удельным сопротивлением, которое равно сопротивлению кубика с ребром в 1 см представляет собой ту форму закона Ома, в которой его можно непосредственно наблюдать. В теории поля она однако не употребительна, так как последняя должна брать за свои положения только такие утверждения, которые относятся к непосредственно окружающему точку пространству. Чтобы найти эту дифференциальную форму закона Ома, предположим, что соотношение, найденное для проволоки, как целого, остается верным и для любого произвольно вырезанного из нее элемента объема. За таковой выберем малый цилиндр, ориентированный в направлении поля, длины с поперечным сечением (нормальным к полю). Для такого цилиндра, согласно (110), если означает разность потенциалов, существующую на концах

или также

Напишем это уравнение в векторной форме

введя для этого вектор плотности тока последний определяется тем, что представляет количество электричества, проходящее в единицу времени через элемент поверхности в направлении его нормали Уравнение (111) есть искомая дифференциальная формулировка закона Ома и одновременно представляет собой подходящее для теории поля определение Этот закон остается неизменным также при процессах, изменяющихся во времени, в то время как (110) ограничивается случаями постоянного тока.

Мы должны указать на то, что (110) применимо только к изотропным веществам, свойства которых, значит, не зависят от направления. В анизотропных телах (например в кристаллах или упругонапряженных материалах) электропроводность, вообще говоря, зависит еще от направления прохождения тока. Тогда является уже не скаляром, а представляет собой симметричный тензор. Уравнение (111) надо читать тогда как тензорное уравнение, причем векторы и

тогда уже не параллельны друг другу, а подчиняются соотношению, которое, например, для имеет вид

и аналогично для Но мы в последующем ограничимся одними изотропными веществами.

Закон Джоуля определяет количество тепла, выделяющегося в проволоке, по которой идет ток . В случае нашего конденсатора, коротко замкнутого проволокой, в единицу времени выделяется количество тепла

энергия поля, исчезающая во время разряда конденсатора, количественно равна джоулеву теплу Отметим здесь еще раз, что мы при этом пренебрегли изменением магнитной энергии поля, связанным: с изменением силы тока. Учет этой энергии даст нам позднее закон индукции. От последнего уравнения можно сейчас же перейти к дифференциальной форме; для этого отнесем закон Джоуля к прежнему элементу объема . В нем

Таким образом джоулево тепло, отнесенное к единице объема, будет

(IE) есть тепло, выделяемое в единице объема за единицу времени. Так же, как и интегральный аакон его можно вывести из принципа энергии. Общее обоснование его мы дадим позднее (§ 52) в электродинамике. Для случая же, когда сила тока меняется очень медленно, поле можно в первом приближении рассматривать как поле безвихревое, и для изменения энергии поля

пользоваться выражением, которое мы имели в электростатике [уравнение (100)]

пусть теперь будет отличной от нуля и внутри проводника. Рассмотрим только то изменение плотности заряда которое вызывается током приводимости Согласно определению

отсюда по теореме Гаусса

Но вообще

Поэтому, интегрируя по всей системе, получим

Но это есть как раз результат, ожидаемый согласно (112): уменьшение энергии поля за секунду равно джоулеву теплу, выделенному во всей системе. Отметим при этом, что вывод является не вполне точным, так как в полях, изменяющихся во времени, уже не является безвихревым.