§ 17. Вихрь и теорема Стокса.

В § 9 мы называли векторное поле безвихревым, когда для любого замкнутого контура, интеграл по кривой

равен нулю. Необходимым и достаточным условием для этого являлось условие, чтобы вектор мог быть представлен в виде т. е. другими словами, чтобы существовал некоторый скаляр обладающий свойством

Отсюда сейчас же следует, что для безвихревого вектора три величины

всюду должны быть равны нулю. Естественно поэтому эти три величины принять за меру силы вихря векторного поля Покажем, что вводимые формулами (60) величины на самом деле представляют составляющие некоторого вектора; для него Мы введем символ и будем его называть: "вихрь Итак, напишем уравнения (60) (сначала чисто формально) в виде:

или

Покажем прежде всего связь между интегралом по кривой новой величиной для этого рассмотрим площадку, лежащую в плоскости (рис. 20); обойдем ее в положительном направлении, т. е. так, чтобы обход был связан с поступательным движением вдоль

как вращение с поступательным движением правого винта. Вычислим для такого обхода интеграл по кривой

Будем вычислять сначала первое слагаемое при этом будем всегда соединять попарно участки кривой, соответствующие одному и тому же (при и ).

Рис. 20. Интеграл по контуру для плоского участка поверхности.

Рис. 21. К теореме Стокса.

При положительном обходе контура будет положительно при меньшем значении Элемент вносит, следовательно, в интеграл член

Общая сумма будет равна

где интеграл справа берется по всей поверхности. После аналогичного преобразования второго слагаемого получим

где подинтегральной функцией двойного интеграла является как раз введенная нами величина Выберем настолько малой, чтобы величина внутри изменялась очень мало, тогда

или точнее

Итак, чтобы определить в любом месте поля у величину нужно найти разность частных производных по формуле или вычислить для соответствующей точки интеграл по контуру площадки, у которой правовинтовая нормаль параллельна оси далее нужно его разделить на площадь и перейти к пределу, устремляя величину площади к нулю. Согласно (61), этим пределом будет Аналогично получаются величины если нормаль к площадке с положительным направлением обхода идет вдоль оси х или у по правилу правого винта.

Спрашивается теперь, что же будет представлять собой величина

если нормаль к поверхности будет ориентирована некоторым произвольным образом направляющими косинусами по отношению к координатной системе. Поместим начало координат вблизи элемента поверхности; тогда можно представить вектор у в области, содержащей элемент в виде ряда Тэйлора:

Если теперь подставить эти выражения в интеграл то члены с пропадают, так как очевидно, что интегралы

обращаются в нуль. Таким образом остается только

Но стоящие здесь интегралы суть не что иное, как проекции данной поверхности на три координатные плоскости. Если принять

во внимание знак составляющих, определяемый направлением обхода, то получится

Мы, следовательно, нашли

Только это уравнение дает нам право трактовать введенные по формулам (60) величины как составляющие некоторого вектора, ибо уравнение (62) показывает, что и для произвольно ориентированной малой площадки с правовинтовой нормалью имеет место соотношение

Интеграл по кривой равен произведению площади, ограниченной контуром интегрирования, на составляющую вектора по направлению нормали.

Эта теорема содержит в себе одновременно определение для вектора не зависящее от выбора координатной системы.

Теорема Стокса. Уравнения (61) и (62а), строго говоря, имеют место только для предельного случая Мы можем однако с их помощью вывести теорему, позволяющую вычислять интеграл по любому замкнутому контуру. Для этого представим себе йроизволъную поверхность ограниченную данной кривой Задавая направление обхода мы для каждого элемента поверхности однозначно определяем направление нормали, соответствующей правилу правого винта. Разделим эту поверхность на малые элементы Если мы для каждого из этих элементов в отдельности образуем величины и сложим их, то члены, соответствующие общей границе двух каких-либо элементов (например взаимно уничтожатся, так как они равны по величине и противоположны по знаку. При сложении остается следовательно лишь интеграл по первоначальному контуру

Но уравнение (62а) мы можем применять к каждому элементу поверхности. Таким образом мы получаем теорему Стокса

Следует при этом обратить внимание на то, что поверхность была проведена через пространственную кривую совершенно произвольно. Поэтому, если провести через контур две различные поверхности (рис. 22), то согласно (63)

Но две поверхности вместе ограничивают некоторый объем. Если мы в последнем уравнении переменим у одной из поверхностей (например ) направление нормали на обратное, то

т. е. общий поток вектора через поверхность объема, ограниченного двумя поверхностями, равен нулю. Таким образом мы видим отсюда, что поле вектора всегда есть поле без источников, т. е. вообще справедливо

что можно также показать непосредственно из (60).

Рис. 22. Отсутствие источников

Вычислим которъщ мы будем пользоваться в дальнейшем. Его составляющая по х, очевцдно

т. е. в векторной форме:

Далее всегда, конечно,

В дальнейшем мы будем пользоваться также соотношением

которое применимо к любым векторам что нетрудно проверить, написав его полное выражение через составляющие.