§ 33. Шаровой конденсатор. Диэлектрический слой бесконечной толщины.

1. Предположим, что пространство между сферическими поверхностями некоторого конденсатора заполнено в виде концентрических слоев двумя различными средами с диэлектрическими постоянными и

Рис. 32. Преломление силовых линий на границе двух диэлектриков.

Рис. 33. Шаровой конденсатор с концентрическими слоями диэлектриков.

Пусть а и с — радиусы внутреннего и внешнего шаров, радиус сферы раздела между заряды внутреннего и наружного шаров.

Тогда всюду между а и с

при этом от а до

от b до с:

Тем самым разность потенциалов между а и с становится равной

Для емкости

откуда

Случай шара с радиусом а, окруженного диэлектрической оболочкой радиуса характеризуется тем, что Тогда

Если становится велико по сравнению с , оболочка практически действует так, как если бы шар находился в бесконечно протяженном пространстве с диэлектрической постоянной

2. Точечный заряд около плоской границы диэлектрического слоя бесконечной толщины.

Представим себе, что в воздухе и на расстоянии а от плоской поверхности некоторого диэлектрика находится точечный заряд спрашивается, какое влияние оказывает наличие диэлектрика.

Эта задача соотвеютвует задаче, решенной в § 28 для, проводящей плоскости. Но тогда нужно было рассматривать поле только в воздухе, так как по другую сторону плоскости раздела поля вообще не существует. Теперь нужно будет принимать во внимание также поле внутри изолятора; будем считать, что изолятор заполняет все пространство за поверхностью раздела. Пусть диэлектрическая постоянная изолятора будет воздуха

Попытаемся решить эту задачу по методу электрических изображений. Представим себе опять, что точке А по другую сторону плоской границы соответствует зеркальное изображение В. Обозначим через расстояния точки наблюдения от А и соответственно от его изображения

Потенциал в воздухе мы положим равным

Поле в воздухе должно следовательно соответствовать истинному заряду в А и воображаемому истинному заряду в В. Это допущение удовлетворяет основному условию, что в воздухе есть только один источник электрического смещения, а именно в точке точка изображения В лежит вне этой части пространства.

Что касается поля внутри диэлектрика, то мы попробуем удовлетворить его допущением, что потенциал в диэлектрике равен

Значит в изоляторе поле должно быть таково, как если бы изолятор простирался безгранично, и в А находился истинный заряд Это допущение соответствует условию, что внутри действительно заполненной диэлектриком части пространства не существует источников или стоков электрического смещения.

Можно показать, что указанное допущение действительно ведет к правильным заключениям о поле. Для этого доказывают, что пограничные условия на плоскости раздела диэлектрика могут быть выполнены, если только распорядиться соответствующим образом величинами» остававшимися до сих пор неопределенными. Что касается нормальных составляющих то

где нормали считаются направленными от соответствующего тела к пограничной плоскости. Пограничное условие гласит: поверхностное расхождение равно нулю; на пограничной плоскости следовательно это первое пограничное условие требует, чтобы

С другой стороны, тангенциальные составляющие с обеих сторон плоскости раздела должны иметь равные значения; это во всяком случае будет иметь место тогда, когда вдоль плоскости выполнено ибо ведь есть отрицательный градиент Условие является не только достаточным, но также и необходимым, если только на поверхности изолятора нет двойных слоев свободного электричества. Мы требуем поэтому, во-вторых,

Из этих двух уравнений, линейных относительно нолучаем

Этим определены воображаемые "истинные" заряды в А. Внутри диэлектрика силовые линии идут таким образом, что они кажутся радиально исходящими из А, в воздухе же доле может быть представлено, как наложение двух полей, из которых одно создается точечным источником А, другое — точечным стоком В.

Если заменить диэлектрик проводником, то для того, чтобы определить потенциал в воздухе, надо, согласно § 28, придать точке

изображения заряд Следовательно, возмущающее действие диэлектрика на силу поля в воздухе, по сравнению с возмущающим действием проводника, измеряется отношением

Диэлектрик оказывает следовательно всегда меньшее действие, чем проводник. В предельном случае, когда диэлектрическая постоянная изолятора очень велика по сравнению с диэлектрической постоянной воздуха, это значит, что проводник влияет на поле в воздухе так же, изолятор с бесконечно большой диэлектрической постоянной.

Что касается далее силы поля внутри диэлектрика, то она соответствует свободному заряду находящемуся в в безграничном диэлектрике. Если удалить диэлектрик, то сила поля соответствовала бы свободному заряду — который действительно имеется в точке А в воздухе. Изменение поля присутствием диэлектрика измеряется поэтому частным

В предельном случае бесконечной диэлектрической постоянной сила электрического поля внутри изолятора равна нулю — так же, как внутри проводника.