§ 67. Самоиндукция и емкость двойного провода.

Перед тем как перейти к изложению теории волн вдоль провода, рассмотрим, стационарное поле двойного провода.

Пусть имеется два прямых цилиндрических и друг другу параллельных проводника, длина которых очень велика по сравнению с их взаимным расстоянием; например, два параллельных провода

(двоиной провод в собственном смысле) или провод, покрытый изолирующей оболочкой и проведенный в воде (кабель). В последнем случае одним проводником служил бы провод, другим — вода. Предположим, что оба проводника электростатически заряжены один противоположно другому, и что, кроме того, по ним текут равные но величине, но противоположные по направлению токи. Сопротивление проводов на первый раз пусть будет равно нулю, чтобы не было падения напряжения вдоль проводов. Тогда и электрическое поле статического поверхностного заряда и магнитное поле токов всюду перпендикулярны к оси провода. Следовательно, если провести плоскость нормально к длине проводки, то

Вычислим поле в изоляторе ; пусть последний будет однороден в пространстве между обоими проводниками.

Электрическое поле не имеет вихрей и, следовательно, может быть выведено из потенциала Ф(х, у):

Магнитное поле не имеет источников и потому может быть выведено из векторного потенциала А, у которого, в силу того, что все токи проходят параллельно оси , только составляющая по может отличаться от нуля. Следовательно, или

Введенные таким образом в плоскости сечения функции должны удовлетворять следующим условиям: так как в изоляторе нет ни зарядов, ни токов, то в нем т. е.

Обозначим затем через заряд единицы длины проводника 1, через - ток (в направлении ) в проводнике 1. Если далее есть элемент пути, по которому производится интегрирование и который охватывает первый проводник, но не охватывает второго» то При этом нормаль направлена от проводника наружу. Элемент длины величины с составляющими связан с составляющими и единичного вектора следующим образом:

Поэтому

Так как, с другой стороны, то мы имеем дальнейшие условия

и соответственно для пути интегрирования, охватывающего второй проводник,

В уравнениях (166) и (167) бросается в глаза аналогия между функциями Чтобы сделать эту аналогию совсем полной, введем ограничивающее предположение, что на поверхности проводника магнитное поле имеет чисто тангенциальное направление. При однородном кабеле с круглыми и концентрическими поперечными сечениями это предположение вследствие симметрии явно удовлетворяется. При двойном проводе оно выполняется приближенно, когда расстояние между проводами велико по сравнению с их диаметром. Мы впоследствии применим наши результаты к быстро меняющимся полям. При таких полях, пока проводник можно рассматривать как идеальный, это предположение выполняется строго при всех обстоятельствах: вследствие того, что переменное поле в такой проводник не проникает, и имея в виду, что источников не имеет, нормальная составляющая должна на поверхности обратиться в нуль. Так как линии поля совпадают с кривыми то наше предположение равносильно тому, что на поверхностях проводников принимает постоянные значения и

Соответствующее уравнение, конечно, всегда имеет место для электростатического потенциала Следовательно,

Тремя уравнениями (166), (167), (168) определяются однозначно вплоть до не имеющей значения аддитивной постоянной. Так как, кроме того, обе функции, если не обращать внимания на численные значения, появляющиеся в (167), должны удовлетворять одинаковым условиям, то они могут отличаться друг от друга только численным множителем. И притом, согласно (167),

Векторы взаимно перпендикулярны. Их величины находятся в постоянном численном отношении

Для выяснения физического значения из уравнения (165а) можно почерпнуть следующее. Рассмотрим произвольную кривую Соединяющую точки в плоскости Пусть ей соответствует по (166а) нормаль Сместим эту кривую параллельно оси на 1 см и подсчитаем поток сил проходящий через полосу покрываемую кривой при таком смещении. Очевидно, согласно (165а) и (166а),

следовательно

Представим себе теперь, что такая полоса с шириной 1 положена на боковые поверхности обоих проводников, и определим, как "коэффициент внешней самоиндукции единицы длины нашего двойного провода, разделенный на с поток индукции, который проходит через эту полосу при силе тока Следовательно,

(Выражение "коэффициент внешней самоиндукции" и индекс а должны указывать на то, что для вычисления полной самоиндукции нужно было бы принять во внимание еще величину прибавляемую магнитным полем, проходящим внутри проводников).

С другой стороны, определим емкость С, приходящуюся на единицу длины двойного провода, по уравнению:

Согласно (169)

Но отсюда

или

Величина, обратная произведению емкости и коэффициента внешней самоиндукции, равна квадрату скорости света в окружающей среде.

К этому же результату мы придем, если будем определять при помощи энергии поля, накопляемой в изоляторе (всегда на 1 см двойного провода):

Из (169а) следует, с другой стороны,

(При этом опять остается не учтенной часть магнитной энергии поля сосредоточенная внутри проводника).

Совместно с (172) это дает непосредственно уравнение (171). Вектор Пойнтинга в нашей схеме всюду параллелен оси и притом по (165) и (165а):

В силу (166) для полного потока энергии через плоскость теорема Грина дает

В силу постоянства на поверхностях обоих проводников второе уравнение (167) и (167а) дают

Но это есть как раз то Джоулево тепло, которое выделяется при замыкании двойного провода, не имеющего сопротивления, омическим сопротивлением величины

В заключение укажем еще значения С для двух простых случаев. Собственно двойная проводка. Расстояние между проводами велико по сравнению с их радиусом Тогда для любой точки наблюдения (ср., например, рис. 41)

На поверхности первого провода при этом в силу откуда

Поэтому

При кабеле (медная проволока радиуса а, изолятор радиуса снаружи вода в качестве второго проводника) в изоляторе

отсюда

А, следовательно,

В выражениях (173а) и нужно обратить внимание на то, что С является отвлеченным числом, и что порядок его величины в практических установках лежит примерно между Соответственно порядок величины согласно (171), лежит между до