§ 10. Отдача поля источников, теорема Гаусса и расхождение вектора.

Идеальной жидкости, лежащей в основе нашего гидродинамического изображения, мы приписываем еще свойство несжимаемости. Тем самым для свободы движения жидкости вводится известное ограничение, так как в области, заполненной жидкостью, через каждую замкнутую поверхность должно втекать столько же жидкости, сколько и вытекать. С помощью такого течения мы могли бы изображать далеко не все векторные поля.

Рис. 10. К доказательству теоремы Гаусса.

Чтобы это ограничение в дальнейшем опять устранить, допустим, что в известных местах пространства жидкость непрерывно образуется, в других же, наоборот, уничтожается. Места первого рода обозначим как источники, места второго рода — как стоки или отрицательные источники. Впрочем, выражение "источник" мы можем употреблять и в более общем смысле, так чтобы оно охватывало и положительные и отрицательные источники. Если придумать подходящую систему источников, можно тем самым изобразить посредством стационарного движения несжимаемой жидкости любое векторное поле.

Мы будем предполагать, что источники распределены в пространстве непрерывно. Тогда возникает задача — указать меру отдачи всей системы источников.

Выделим для этого определенный объем и измерим объем жидкости, вытекающей из в единицу времени. Так как мы поток заранее предполагаем несжимаемым и стационарным, то этот объем жидкости должен характеризовать собой отдачу всех находящихся в источников.

Через элемент поверхности величины в единицу времени в направлении нормали, проведенной в любую сторону, протекает количество жидкости

В самом деле, это есть объем цилиндра с основанием и высотой Общий объем ежесекундно вытекающий из жидкости дается поэтому интегралом, взятым но поверхности

где есть элемент поверхности внешняя нормаль. Преобразуем первое слагаемое правой стороны

в интеграл по объему; для этого представим себе, что объем разделен в направлении х на бруски с прямоугольными поперечными сечениями. Такой брусок имеет поперечное сечение и вырезает из поверхности два элемента поверхности Величина привносимая обоими элементами в искомый интеграл, будет

Пусть координаты х оконечных элементов нашего бруска будут и пусть притом Тогда очевидно

и

так что предыдущее выражение можно представить в виде

Если теперь просуммировать по всем брускам, на которые разделен объем то получим:

Если произвести далее соответствующее преобразование и для остальных двух слагаемых правой стороны (38), то получится важная теорема Гаусса

Назовем удельной отдачей или расхождением нашего поля потока в некотором месте отдачу единицы объема элемента, окружающего рассматриваемое место, т. е.

Уравнение (40) сейчас же дает для него значение

В тех случаях, когда представляет поток без источников, должно всюду удовлетворять дифференциальному уравнению