§ 68. Волны вдоль идеальных проводников.

Рассмотрим тот же двойной провод предыдущего параграфа; пусть, как и в предыдущем случае, поле будет поперечным, но зависит как от так Напишем сначала общие уравнения Максвелла для изрлятора, для случая, когда

Что касается зависимости от то эти уравнения ничей не отличаются от случая стационарности. Мы можем, значит, и здесь ввести функции которые теперь, кроме как от х и у, зависят еще от

Четыре уравнения будут тогда удовлетворяться выражениями:

Пусть опять будут заряды проводников в рассматриваемом поперечном сечении, рассчитанные на единицу длины, а силы тока; еж I теперь будут функциями тогда должны удовлетворять всем поставленным в предыдущем параграфе условиям (166), (167), (168). Условия (168) теперь, при переменном поле, соблюдаются даже строго, так как поле внутри идеального проводника должно равняться нулю; в самом деле, тангенциальная слагающая проходит через поверхность проводника непрерывно; то же относится к нормальной слагающей (тангенциальная составляющая при идеальном проводнике, наоборот, ввиду сосредоточения тока в тонком поверхностном слое, вообще говоря, испытывает здесь разрыв). Поэтому, если обозначить индексом о вычисленные в предыдущем параграфе четыре соответствующих друг другу значения то решение (175а и b) теперь будет

Но по уравнению (169)

а потому

Теперь мы должны ещё удовлетворить четыре оставшихся уравнения (174а, b, d, е). Если ввзсти величины по (175а, с, d), то из (174а), а также получается

Исключение I или для каждой из указанных двух величин дает волновое уравнение

Вводя скорость волны

получим, следовательно, общее решение в виде

где произвольные функции.

Если воспользоваться понятиями "коэффициента самоиндукции" и "емкости, то основные уравнения (176а и b) волн вдоль провода можно получить также следующим образом.

Рис. 55. Применение закона индукции к двойному проводу.

Заряд, находящийся на участке провода, может измениться только вследствие того, что входящий ток отличен от выходящего. Это дает уравнение непрерывности в соответствии с (176а). Применим далее закон индукции к контуру, приложенному между обоими проводниками, ширины (поверхность рис. 55). Поток индукции через эту полосу, умноженный на согласно определению (170а), равен

Интеграл но этому контуру будет

Последнее равно уменьшению магнитного потока; поэтому

Вводя емкость получаем отсюда

Если принять еще во внимание введенное в предыдущем параграфе соотношение и то последнее уравнение станет тождественно с

Рассмотрим в частности волну частоты распространяющуюся по направлению положительной оси ; тогда дают решение

где для сокращения положено Выводимое отсюда поле отличается от плоской волны в однородной среде только тем, что в плоскости волны (плоскость ) как направление поляризации, так и интенсивность оказываются функциями координат; интенсивность значительно отличается от нуля только около самых проводов; на поверхности провода электрический вектор всюду нормален к этой поверхности. Мы имеем картину волны, скользящей вдоль двойного провода. Вид поля в плоскости волны был показан ранее на рис. 42.

Из разнообразных применений волн вдоль проводов рассмотрим вкратце лишь следующий случай.

Пусть двойной провод простирается от плоскости до Здесь она замыкается омическим сопротивлением В. Пусть ее начало соединено с "источником переменного тока" частоты Чтобы определить результирующее распределение напряжения и токов, напишем сначала, основываясь на (176с) и (176d), общее решение для частоты :

где а и V — произвольные комплексные числа. Мы можем, однако, не нарушая общности, взять а веществзнным и положить где также вещественные числа. Положим, далее, для сокращения

т. е. мы измеряем наш двойной провод в если за единицу взято возрастает на когда увеличивается на полволны. Теперь наше решение будет иметь вид

Мы можем по этим выражениям построить векторную диаграмму для любого поперечного сечения : При этом общий фазовый множитель не имеет никакого значения. Значение же констант видно из рис. 56: вокруг конечной точки В отрезка опишем окружность радиуса есть центр круга, не обозначенный на рис. 56. Диаметр круга лежащий в направлении а, повернем затем на угол Вследствие этого он займет положение (на рисунке С, соответственно нашему примеру, отрицательно). Тогда, согласно уравнению (177), отрезками и определяются как по амплитуде, так и по разности фаз величины и для поперечного сечения Таким образом, состояние вдоль всей проводки определяется весьма просто соответствующим поворотом диаметра. Эту общую картину нужно уточйить для условий, предписанных на конце проводов; в частности, в нашем примере: сопротивление — омическое, равное следовательно, при Равенство фаз при требует Согласно (177), при таком краевом условии в месте следует далее

Рис. 56. Векторная диаграмма идеального двойного провода. Каждому поперечному сечению двойного провода соответствует диаметр окружности. Векторы, проведенные из начальной точки к конечным точкам диаметра, дают значения тока и напряжения в соответствующем сечении.

Тем самым определено также отношение отрезка к следовательно, вплоть до численного множителя, и состояние на всей системе проводов.

Нужно обратить внимание на следующие предельные случаи для Провода на конце разомкнуты. Тогда окружность проходит через точку всюцу имеют разность фаз в 90°. В местах и в местах Стоячие волны.

Это дает Отраженная волна совершенно отсутствует, сопротивление нацело поглощает падающую волну всюду имеют одинаковую величину и одинаковую фазу.

На конце провода замкнуты накоротко Этот случай отличается от только тем, что в данной там картине следует переставить местами и

Перенос энергии на проводах для всех сечений имеет, конечно, одинаковое значение, как это непосредственно видно также из рис. 56. Именно, вплоть до численного множителя определяется уравнением:

Он, например, всегда равен нулю, когда конец проводов замкнут только на самоиндукцию или емкость без омического сопротивления. В самом деле, тогда на конце проводов угол между фазами составляет или —90°, что возможно только при Окружность в нашей диаграмме в этом случае всегда проходит через начальную точку О.