§ 15. Источники и двойные слои, расположенные по поверхности.

До сих пор мы предполагали, что потенциал и вектор за исключением отдельных точек, всюду суть конечные и непрерывные функции координат. Мы должны перейти к изложению разрывных поверхностей; но прежде, в виде предварительного упражнения, рассмотрим задачу о круговом диске радиуса а и толщины равномерно заполненном источниками. Мы ограничимся определением потенциала на оси диска, которую выберем за ось а нашей координатной системы. Если постоянная внутри диска отдача, то круговое кольцо фадттуса и толщиной образует в точке потенциал

Рис. 13. Круглый диск радиуса а и толщины

Потенциал, создаваемый всем диском, будет

При этом мы предполагаем, что Будем переходить теперь к пределу таким образом, чтобы поверхностная плотность

сохраняла постоянное значение. Наряду с потенциалом

рассмотрим еще составляющую по 2 скорости должны на оси исчезать в силу симметрии). Нас интересует главным образом поведение полученных нами решений при прохождении через диск. Потенциал для больших значений принимает значение -

Внутри диска принимает, начиная с обеих границ, постоянное значение Наоборот, положительно для положительных и отрицательно для отрицательных . При получает, в зависимости от того, идем ли мы от положительных или отрицательных значении , значение

Обобщая этот результат, утверждаем следующее: при прохождении через поверхностно-распределенные источники с отдачей на единицу поверхности (поверхностное расхождение вектора), потенциал меняется непрерывно, нормальная же составляющая претерпевает при этом скачок, равный

Рис. 14. Ход и на оси тонкого круглого диска.

Рис. 14а. Предельный случай рис. 14. Непрерывность и скачок при прохождении через поверхностный источник.

Для доказательства этого утверждения будем рассуждать следующим образом. Пусть дана произвольная поверхность с поверхностной плотностью источников ; последняя пусть будет определенная функция координат. Пересечем поверхность (в направлении нормали) в некоторой точке Вырежем далее из поверхности малый круговой диск с центром в Тогда действие всей поверхности можно разделить на две части: во-первых, действие кругового диска; согласно вытеска занному, он вызывает скачок на при этом никакого скачка в самом не будет; во-вторых, действие остальной части поверхности. Все источники последней лежат на конечном расстоянии от а потому никаких разрывов образовать не могут.

Рассмотрим далее два параллельных круговых диска на расстоянии с равными, но противоположными поверхностными плотностями (рис. 15). Положительный диск создает в точках оси потенциал определяемый по формуле (55а). Отрицательный диск при этом дает потенциал — Следовательно, в общем получается (пока

и

Пусть далее стремится к бесконечности, а к нулю, но таким образом, что величина

сохраняет конечное значение. Мы называем тогда моментом двойного слоя, который получается в результате сжатия двух дисков. Тогда наши последние две формулы содержат общий результат:

При рохождении двойного слоя с моментом по тенциал изменяется скачком на при этом нормальная составляющая не претерпевает скачка.

Рис. 15. Два круглых диска с противоположными поверхностными обкладками на расстоянии

Рис. 15 а. Предельный случай рис. 15. Скачок и непрерывность двойного слоя.

Имея эти результаты, рассмотрим теперь, какое влияние на безвихревой поток оказывают заданные на поверхности скачки

Мы различим две стороны данной поверхности 1 и 2; и — внешние нормали области, ограниченной поверхностью Тогда есть скачок нормальной составляющей Пусть далее скачки заданы на как функции координат

Согласно полученным выше результатам, мы можем предсказать следующее: элемент поверхности благодаря скачку действует на точку (,х, лежащую вне поверхности, как источник с отдачей благодаря же скачку как двойной источник с моментом При этом есть та нормаль, которая направлена от отрицательного потенциала к положительному (направление на рис. 16

соответствует предположению, что Согласно (47) и (52) элемент внесет в величину потенциала в точке слагаемое

Поэтому общий потенциал, создаваемый всей поверхностью, будет

Докажем эту формулу, пользуясь теоремой Грина

Рис. 16. Поверхность разрыва с заданными скачками

Рис. 17. К вычислению потенциала поверхности разрыва с помощью теоремы Грина.

Обозначим опять через расстояние до точки и положим

Пусть искомый потенциал с заданными посредством (56) разрывностями на поверхности Вне этой поверхности всюду должно равняться О.

Границами области интегрирования будут теперь служить: во-первых, внешняя поверхность, которую мы (как § 14) будем предполагать уходящей в бесконечность; поэтому она ничего не вйосит в величину интеграла по поверхности. Во-вторых, сфера вокруг точки которая, как показано в § 14, вносит в указанный интеграл слагаемое

В-третьих, оболочка с поверхностями с помощью которых мы исключаем из области интегрирования поверхность разрыва. В ограниченной таким образом области всюду — конечные непрерывные функции, удовлетворяющие условию так что правая

сторона уравнения Грина обращается в нуль. Остается, следовательно только

Будем с правой стороны всегда соединять попарно два противолежащие элемента поверхности Пусть направление нормали к данной поверхности совпадает с тогда Следовательно

При таком соединении мы получим интеграл, распространенный по поверхности разрыва:

Если теперь положить здесь

и ввести далее как для так и для заданные формулой (56) скачки, то получается формула (57).