§ 18. Вычисление векторного коля по его источникам и вихрям.

В § 15 мы видели, как можно вообще вычислять безвихревое поле по его источникам. В этом параграфе мы займемся общей задачей вычисления векторного поля по данным источникам и вихрям. При этом будем опять полагать, что как все источники, так и вихри находятся на конечном расстоянии. Мы ищем следовательно такое векторное поле у, для которого одновременно удовлетворяются условия

где скаляр и вектор с для каждой точки пространства даны. При этом с не может быть вполне произвольным; согласно (64) всюду должно выполняться условие

Из доказанной в § 14 теоремы о том, что безвихревое векторное поле, не имеющее источников, просто равно нулю, следует, что уравнения могут иметь только одно решение, так как разность двух решений всегда должна удовлетворять уравнениям Найдем теперь это решение.

Для этого разложим искомый вектор у на два слагаемых

и попытаемся удовлетворить уравнениям потребовав, чтобы

Иначе говоря, разложим искомое поле у на безвихревое поле с заданными источниками, и на поле без источников, но с заданными вихрями.

Это разложение можно произвести только одним путем, ибо безвихревая составная часть согласно § 15, однозначно определяется требованием Ее значение будет:

Нам остается теперь только определить поле без источников согласно Отсутствие источников позволяет представить как вихрь некоторого другого вектора А

Определенный таким образом вектор А называется векторным потенциалом Подобно тому, как при определении по первому из уравнений мы можем прибавлять к нему произвольную постоянную, можно также и к векторному потенциалу А, не нарушал

уравнения прибавить любой безвихревой вектор. Выберем его таким образом, чтобы выполнялось условие

При таком выборе А из (68) получается

Из правила (65) и условия получаем уравнение

совершенно аналогичное лапласовскому уравнению для скалярного потенциала

решение которого дается в Эта аналогия позволяет нам сразу же написать решение Оно будет:

Этими формулами поставленная вначале задача решена. Окончательный результат таков:

Мы должны еще убедиться в том, что векторное поле данное (681), действительно не имеет источников, как это было потребовано в

Очевидно, согласно (681).

Но

А так как, согласно с всегда должно быть задано как вектор без источников, то

Если теперь охватывает всю систему вихрей, то на всюду должно равняться нулю, т. е. другими словами поле вектора А действительно источников не имеет.

При применении уравнения (42) ко всей системе интеграл по поверхности, уходящей в бесконечность, равен нулю. Отсюда следует, что

Если образовать скалярное произведение двух векторов: одного безвихревого, а другого — без источников и взять интеграл этого произведения по объему, охватывающему всю систему, получится нуль.