§ 12. Точечные источники.

До сих пор мы всегда предполагали, что источники распределены непрерывно, и значение расхождения вектора всегда конечно. Такое предположение действительно справедливо для всех векторных полей. Однако имеются случаи, когда распределение источников приближается к прерывному, и источники оказываются сжатыми около точек, линий или поверхностей. Так как о прерывным распределением математически иногда оперировать легче, чем с непрерывным, то часто задачу упрощают и производят вычисление, предполагая распределение прерывным. Но при этом, если хотят избегнуть ошибочных заключений, нужно всегда иметь в виду, что с самого начала было введено предположение, которое не совсем точно отвечает действительности.

В этом параграфе мы хотим рассмотреть безвихревый поток, образуемый точечными источниками. Мы исходим из случая, когда во всем пространстве, заполненном жидкостью, имеется всего один источник. Выходящая из источника жидкость уходит, в силу симметрии, одинаково но всем направлениям. Она движется в радиальных направлениях, причем через все концентрические шаровые поверхности, описанные вокруг точечного источника, как центра, протекает одинаковое количество жидкости. Это количество характеризует отдачу источника, если мы измеряем ее, как и раньше, объемом вытекающей из него жидкости. Будем теперь за меру отдачи источника принимать не объем, а массу идеальной жидкости, плотностью которой мы тоже можем распорядиться произвольно; положим ее равной Это делается для того, чтобы отчетливее показать аналогию между полем потока и электрическим силовым полем, выраженным в абсолютных электростатических единицах. Таким образом отдача источника должна быть равна единице, если из него в каждую секунду появляется несжимаемой жидкости. Через шаровую поверхность радиуса описанную вокруг источника, как центра, протекает ежесекундно масса жидкости равная

обратно, радиальная скорость потока выражается через отдачу следующим образом:

она падает обратно пропорционально квадрату удаления от точечного источника и становится бесконечной, если войти в точку источника.

Невихревая природа потока приводит к тому, что вектор можно представить как отрицательный градиент некоторого потенциала

Если мы имеем ряд из точечных источников с отдачами и если поля их налагаются друг на друга, то результирующее поле можно вычислить или путем геометрического сложения векторов или просто алгебраическим суммированием скалярных потенциалов

Если мы имеем замкнутую поверхность, охватывающую некоторое число точечных источников, то объем жидкости, протекающий череа эту поверхность наружу, равен произведению 4? на алгебраическую сумму отдач источников, охваченных поверхностью.

Если суть координаты точечного источника, то значение потенциала в точке согласно (48) равно

Мы убеждаемся, что эта функция фактически всюду, за исключением самых точечных источников, удовлетворяет уравнению Лапласа для безвихревого свободного от источников потока

Для поверхности окружающей точечных источников

Для доказательства применим теорему Гаусса к области, ограниченной поверхностью и малыми шаровыми поверхностями вокруг отдельных точечных источников. В ограниченной таким образом области равен всюду нулю; поэтому

нужно здесь предполагать направленной всегда от заштрихованной области наружу, Фак что по (46)

Рассмотрим, исходя из выражения (49), потенциал системы источников, лежащих на конечном расстоянии от данной точки, и пусть это расстояние будет велико но сравнению с расстояниями отдельных источников друг от друга. Поместим начало координат в область системы источников и разложим выражение (49) по величинам которые, как указано, малы в сравнении с мы получим тогда

где индекс О означает, что в соответствующем члене все значения нужно положить равными нулю. Производная

следовательно

так что мы получаем

В таком приближении поведение нашей системы характеризуется следовательно: во-первых, общей отдачей во-вторых, вектором с составляющими его мы назовем моментом системы источников. Тогда

или, если обозначает угол между вектором и радиусом вектором

На большом расстоянии система источников действует, следовательно, в первом приближении как точечный источник с отдачей Для

рассмотрения второго приближения разберем сначала простейший случай такой системы источников, для которой общая отдача равна нулю.