§ 21. Тензоры. Полярные и аксиальные векторы.

Как мы видели в § 3, уравнение (9), каждому направлению пространства вектором а сопоставляется скаляр

который есть не что иное, как составляющая этого вектора по направлению зависит линейно-однородно как от составляющих вектора так и от направляющих косинусов.

В физике часто бывает, что по аналогичному закону каждому направлению сопоставляется некоторый вектор

здесь вместо скалярных составляющих вектора выступают три вектора которые сопоставлены направлениям

Подобно тому, как три скаляра сопоставленные координатным направлениям, определяют собой некоторый вектор а, три вектора объединяют в новую величину, которую называют тензором. Под составляющими тензора понимают составляющих векторов

Так как направляющие косинусы в (9) или (71) являются составляющими единичного вектора то можно также написать

Это пишут сокращенно

и говорят, что вектор получается путем умножения тензора. на 8. Точно так же тензор можно перемножать с любым вектором длина которого таким образом получается

Каждому вектору тензором сопоставляется следовательно линейно-однородно вектор

Рис. 25. Равновесие на тетраэдре.

Чтобы пояснить физическое значение тензора как вновь вводимой величины, укажем на то, что, например, напряжение в какой-либо точке твердого тела дается тензором.

Проведем через точку подвергнутого напряжению тела элемент поверхности и припишем ему направление нормали Представим себе теперь, что вещество, прилегающее к элементу поверхности, удалено с той стороны, куда указывает нормаль. Для того чтобы оставшиеся части не сместились, необходимо приложить силу, распределенную по элементу. Деля эту силу на и относя ее тем самым к единице поверхности, получим напряжение, действующее в точке на площадку последней припишем также определенное направление обхода. Каждому положению площадки, проведенной через а, следовательно, каждому единичному вектору отвечает свой вектор напряжения Спрашивается, как зависят друг от друга векторы напряжения, отвечающие различным направлениям Возьмем прямоугольную систему координат с началом в точке и отсечем от вершины первого октанта бесконечно малый тетраэдр (рис. 25); величина плоскости основания его пусть будет равна а внешней нормалью служит с составляющими Тогда остальные поверхности будут ; напряжения, действующие на них, будут — если суть напряжения, отвечающие положительной оси (внешние нормали поверхностей тетраэдра имеют направление

отрицатедьных осей). Если есть напряжение, действующее на основание, то силы, действующие на тетраэдр, будут:

Условием равновесия будет следовательно

Отсюда следует искомое соотношение

Сравнение с (71) дает, что напряжение в точке твердого тела является тензорной величиной. Оно задано, если для какой-либо системы координат известны напряжения отвечающие направлениям осей. Из этих величин, а также из направляющих косинусов нормали к поверхности линейно-однородно слагается напряжение действующее на эту поверхность.

Если составляющие то имеет место

где, например, будет составляющая по оси В частном случае тензора напряжений составляющие этого тензора удовлетворяют условию симметрии

значение которого мы вскоре увидим.

Дальнейший пример тензора мы получим следующим образом:

В § 9 уравнение (33а) мы видели, что возрастание скаляра в каком-либо направлении дается соответствующей компонентой вектора, являющегося градиентом :

Если векторное поле задано тем, что каждой пространства сопоставлен вектор а, то каждая из составляющих сама по себе образует скалярное поле. Применим к ним уравнение (33а):

Перемножая каждое из этих уравнений с соответствующим ему основным вектором или или к) и складывая, получим:

Следовательно, в то время как возрастание скалярного поля определяет вектор, производная векторного поля дается тензором.

Полученный результат можно применить физически. Самая общая деформация тела определена, если для каждой из его точек известен вектор смещения. Рассмотрим малый вектор с составляющими соединяющий две точки тела, подвергнутого деформации. Если а есть смещение точки , то элемент изменяется на разность смещений своих конечных точек, т. е. на

Этот полный дифференциал нужно понимать, согласно (71а), как произведение тензора деформации (состоящего из частных производных вектора поля) на вектор

Если обозначить составляющие тензора, как выше для тензора натяжений, через так что будет составляющая того вектора, который сопоставлен координатной оси, то векторное уравнение (71) можно написать в составляющих

Составляющие тензора, которые являются коэффициентами этой линейной системы уравнений, можно наглядно расположить таким образом

Эта таблица называется квадратичной матрицей. Диагональ, идущую слева сверху направо вниз и содержащею элементы с двумя одинаковыми индексами, называют главной" диагональю. Если все элементы, получающиеся попарно один из другого путем зеркального отражения в главной диагонали, равны, то матрица, так же как и тензор, называется симметричной. Для симметричного тензора имеет поэтому место

Если же составляющие тензора, получающиеся отражением в главной диагонали, равны по величине, но противоположны по

знаку, в то время как все элементы главной диагонали обращаются в нуль, то тензор называется антисимметричным или кососимметричным.

Если мы имеем два тензора которые при умножении на вектор дают векторы

то

Векторами которые сопоставлены соответственно трем координатным направлениям, определяется тензор, произведением которого на как раз является Обозначим его и назовем суммой тензоров Его составляющие получаются путем сложения соответствующих составляющих его матрицей будет

Всякий тензор можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Согласно правилу сложения имеем

Первая матрица справа действительно есть симметричная, вторая — кососимметричная.

Нас интересуют теперь те свойства тензора, которые не зависят от случайного положения координатной системы. Для этого напишем в сокращенной форме

где через обозначены составляющие вектора по х, у, z. Если мы повернем координатную систему таким образом, что будут являться составляющими по отношению к новой координатной системе, то между этими величинами будет существовать уже другое соотношение

Пусть вращение координатной системы описывается девятью направляющими косинусами новой координатной системы в отношении старой.

Тогда

а между будут существовать соотношения ортогональности

означает нуль при при .

Если ввести в уравнения и ( то получим

Это уравнение имеет место для всякого вектора Следовательно

Перемножение суммирование по к дает согласно преобразование тензора

Из уравнения мы прежде всего заключаем, что если для всзх индексов то и С другой стороны, из следует также, что Свойство симметричности и антисимметричности тензора не зависит от системы координат.

Если положить и просуммировать по то в силу получится

Сумма всех элементов главной диагонали тензора является, значит, также инвариантом.

"Единичный тензор" при вращении по вообще не изменяется; следовательно, имеет место также

где произвольное число. Так как детерминант равен 1, то правило умножения теории детерминантов дает важную теорзму: Значение детерминанта

не зависит от координатной системы. Следовательно, все коэффициенты полинома имеют инвариантное значение. В частности имеат инвариантное значение корни уравнения называемого "вековым уравнением".

В качестве применения рассмотрим деформацию непрерывной среды при условии, что скорость в каждой точке дана. Спрашивается, каково будет изменение расстояния двух материальных точек за время Ы. Соединим две соседние материальные точки вектором с составляющими Тогда начало за время передвинется на расстояние конечная точка, напротив, на

Рис. 26. Изменение вектора соединяющего две материальные точки, при деформации.

Составляющие претерпевают, следовательно, изменение со скоростью

Разложим тензор скорости деформации на его симметричную и антисимметричную части

Симметричную часть

можно описать следующим образом: если поставить вопрос о том, существует ли такой вектор, который не изменяет своего направления, то этот вопрос сводится к нахождению такого вектора, который должен удовлетворять соотношению Система уравнений

имеет решение только для такого для которого детерминант

Каждому из корней этого уравнения отвечает, согласно (731) направление Если вез три корня различны, то уравнением (731) даются три вектора которые при симметричной деформации сохраняют свое направление. Напишем уравнения

и

умножая первое из этих уравнений на второе на вычитая затем одно из другого и произведя суммирование по в силу симметрии получим

Различным "собственным значениям соответствуют различные "собственные векторы которые перпендикулярны друг другу. Самая общая симметричная деформация заключается, следовательно, в растяжении илцсжатии по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Если повернуть координатную систему таким образом, чтобы ее оси совпали с этими направлениями, то

Для изменения материального объема получается

Но сумма трех корней есть след тензора и, как таковой, инвариантна по отношению к предпринятому повороту. Следовательно

Таким образом мы расхождение вектора представили, как след

Антисимметричная часть [уравнение ] нашего тензора

оставляет без изменения все углы и расстояния. Для доказательства рассмотрим изменение во времени скалярного произведения двух любых векторов

Если во втором слагаемом переменить местами индексы и то получится

чем утверждение и доказано. Тензор должен, следовательно, описывать поворот. Это можно видеть непосредственно, если обозначить

Тогда дает

Сравнение с уравнением (21а) показывает, что уравнением описано не что иное, как вращение, и что вектором и, выраженным уравнениями определены ось вращения и скорость вращения. Согласно вектор и связан с первоначальным полем потока уравнением

Скорость вращения а равно и собственно говоря, не являются векторами, а представляют собой антисимметричные тензоры. К таким величинам применяют иногда термин "аксиальные векторы" в отличие от нормальных "или "полярных векторов“. Дальнейшим важным примером аксиального вектора может служить векторное произведение двух векторов и которое собственно следовало бы описывать как кососимметричный тензор

Данное в представление кососимметричного тензора посредством вектора возможно только для трехмерного пространства, да и то лишь постольку, поскольку мы ограничиваемся правой координатной системой. Согласно законы преобразования векторов и антисимметричных тензоров тождественны только тогда, когда детерминанг равен Если же этот детерминант равен —1 (что означает переход от правой к левой системе), то сразу же обнаруживается разница в существе этих двух величин. Положим, например, (отражение в нулевой точке). Тогда составляющие вектора согласно меняют свой знак, в то время как все тензорные составляющие остаются неизменными.

В предыдущих параграфах введение аксиальных векторов всегда регулярно проявляло себя тем, что для их объяснения мы вынуждены были пользоваться понятием правого винта. Этого понятия, а с ним и ограничения правой координатной системой, можно совершенно избегнуть, если вместо аксиального вектора всегда вводить соответствующий тензор.

Резюмируя, можем сказать, что для трехмерного пространства мы в векторном произведении обладаем простым и наглядным способом

представления кососимметричного тензора. Чтобы избежать, однако, недоразумений, мы не должны забывать, что здесь идет речь только о практическом правиле, область применения которого имеет свои границы.

В применении к физике мы чаще всего будем встречаться с тензором напряжений. В теории упругости тензор напряжений получается из симметричной части тензора деформаций путем применения закона Гука; так как ни тензор деформаций, ни закон Гука не содержат какого-либо преимущественного направления поворота, то тензор напряжений является симметричным, как это выше уже было сказано.