А. ВЕКТОРЫ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
I. ВЕКТОРЫ.
§ 1. Определение вектора.
Уравнения физики являются в конечном счете соотношениями между непосредственно измеряемыми величинами. Измерение показывает, сколько раз в измеренной величине содержится мера, принятая за единицу. Единицу измерения можно выбрать произвольно. Но можно также свести ее к, ранее установленным единицам, с которыми она связана некоторым уравнением. Решение этого уравнения относительно новой единицы называют ее размерностью по отношению к остальным единицам. Так называемая абсолютная система мер строится на трех основных единицах: единицах длины, массы и времени. Но каковы бы ни были единицы, положенные в основу системы, всегда обе части уравнения должны быть равны не только по своему численному значению, но и по размерности. В самом деле, различие размерностей имело бы следствием, что при изменении основных единиц нарушилось бы равенство численных значений. Это требование используется в практике физическога вычисления как первая проверка правильности уравнения.
Простейшие физические величины вполне определяются при выбранной единице меры посредством одного числа. Они называются скалярами. Таковы, например, масса, температура, градус Цельсия.
Существуют однако величины, которые не принадлежат к классу скаляров. Так, для установления конечного положения точки, сдвинутой из некоторого начального положения, необходимо знание трех чисел, - скажем, трех прямоугольных координат по отношению к осям, проведенным через начальную точку. Можно было бы с самого начала производить вычисления со скалярными составляющими смещения, не вводя формально новых величин. Но таким образом нельзя было бы, во-первых, выразить вполне понятное физически единство смещения; во-вторых, избранием координатной системы с самого начала вносится чуждый элемент, который с самым смещением ничего общего не имеет. Поэтому мы введем смещение как величину нового рода и установим для нее правила вычисления. Только в том случае, когда мы от формул перейдем к определению численных значений, будет необходимо вводить определенную координатную систему.
Будем называть векторами прямолинейные смещения точек, а равно и все физические величины, совокупность коих может быть изображена в виде совокупности прямолинейных смещений, подобно тому, как значения скаляра представляются отрезками прямой; при этом все
Рис. 1. Сложение двух векторов.
векторы удовлетворяют тем же правилам сложения, как и изображающие их смещения.
Со строгим признаком того, является ли величина вектором, мы познакомимся в § 3.
