§ 71. Общие электродинамические потенциалы.

В этом и еле дующих параграфах мы ставим себе задачу вычислить поле, которое создается заданным распределением заряда и тока. Итак, пусть плотность тока и плотность заряда даны как функции координат и времени. Мы ограничимся при этом распространением поля в пустоте, т. е. положим всюду

Тогда поле определяется уравнениями

Из а) и b) прежде всего следует, что не могут быть заданы вполне произвольно, так как всюду и во всякое время должно удовлетворяться уравнение непрерывности

Мы удовлетворим (188d) тождественно, введя векторный потенциал А

Но означает, что не имеет вихря; поэтому и (188с) удовлетворяется, если положить

Подставляя эти значения для из а) и получим

Уравнением (189а) даются только вихри вектора А. Источниками же его мы можем еще распорядиться произвольно. Потребуем, чтобы

Вследствие этого последние уравнения в силу (65) получают простой вид:

Для случая стационарного поля эти уравнения непосредственна переходят в подробно разобранные раньше уравнения электростатики и уравнения стационарного распределения токов (ср. для этого §§ 14 и 18). Распространение поля во времени учитывается в (190) тем, что известный из статики оператор дополняется членом

Общий интеграл (190а и b) тоже удается привести к виду, весьма сходному с выражением, имеющим место для стационарных полей. Этот вид, как мы сейчас убедимся, будет таков:

Эти уравнения показывают, что величина, вносимая элементом объема в величину потенциала в точке наблюдения отличается от статического случая исключительно тем, что для плотности тока и плотности заряда нужно подставить те значения, которые были в в момент времени Члены и вносимые точечным источником в величину потенциала в точке наблюдения, попадают туда только спустя время . По этой причине называют также запаздывающими потенциалами.

Мы должны теперь еще убедиться в том, что (191) действительно представляет решение (190). Достаточно привести это доказательство для Разложим для этого область интегрирования на две части где означает очень малый объем, содержащий точку всю остальную область. Соответственно разложим

Но при интегрировании по очень малой области запаздывание, очевидно, не играет никакой роли, так что в первом интеграле можно заменить просто на Но тогда он не отличается больше ничем от статического случая. Мы получаем таким образом Далее, для величины, зависящей только от согласно § 20 справедливо вообще

а, следовательно,

Но для всякой функции от

Таким образом

так как при переходе к пределу обращается в нуль.

Следовательно, действительно

Таким образом, даваемая уравнением (191b) функция действительна удовлетворяет дифференциальному уравнению

В следующем параграфе мы подробно рассмотрим данное здесь вполне общее решение Максвелловых уравнений в применении к частному случаю, именно — к сферическим волнам, испускаемым колеблющимся диполем.