§ 39. Механические силы в электростатическом поле.

Выведен теперь общее выражение для силы действующей со стороны поля на материальный элемент объема Применим для этого принцип энергии следующим образом: пусть находящееся в доле вещество движется как-нибудь произвольно. Пусть — вектор потока, который дает скорость материальной частицы, находящейся в положении Будем полагать, что величина и настолько мала, что в любой момент времеяи поле может считаться электростатическим (наши соображения строго справедливы лишь в случае Очевидно, что скалярное произведение есть работа, совершаемая принтом потоке в единицу времени отнесенной к единице объема силой k.

Если обозначить через

общую энергию поля, то принцип энергии требует, чтобы падение в одну секунду было равно полной работе, затраченной в веществе:

На самом деле мы к пока не знаем; наоборот, наша задача состоит как раз в том, чтобы преобразовать изменение во времени значения даваемого уравнением (95), таким образом, чтобы оно приняло вид (96). Тогда мы имеем право появляющийся при этом множитель к рассматривать как совместимую с принципом энергии плотность силы. Мы должны, следовательно, вычислить, как меняется вследствие существования потока и. Но поле является однозначно определенным, если плотность нарядов и диэлектрическая постоянная всюду даны.

U изменяется, следовательно, лишь постольку, поскольку изменяются во времени Поэтому вычислим прежде всего оба выражения При этом должно означать изменение вследствие изменения в , причем держится постоянной; соответственно есть изменение когда держится постоянной, а изменяется

И в том и в другом случав мы должны вычислять разность энергий между двмя полями:

a) Когда постоянной держится а потому

Так как мы ограничиваемся малыми изменениями, то значит

Но

Изменение плотности зарядов означает изменение расхождения вектора смещения

так что

Этот результат содержит в себе как частный случай предложение, что при малом смещении зарядов, находящихся изолированном проводнике, энергия поля не изменяется. При предполагаемом здесь электростатическом равновесии фактически постоянен и Это конечно есть только частный случай теоремы Томсона о минимуме электростатической энергии. Но для нас этот частный случай является особенно важным, потому что мы из него узнаем, что та часть от которая заключается в передвижении зарядов на металлических проводниках, ничего к изменению не прибавляет, если только длительно сохраняется электростатическое равновесие. Но как раз это мы и предполагали.

b) Когда держится постоянной плотность зарядов всюду свободно от источников; так как, кроме того, поля безвихревые, то в этом случае

если оба интеграла берутся по всему пространству. Мы можем, следовательно, заменить под знаком интеграла в на и на так что получим

Если теперь значения диэлектрической постоянной на одном и том же месте до изменения и после, то тем самым

При малом изменении

Таким образом для скорости изменения энергии поля в общем имеем

Теперь мы должны связать изменения во времени и в с заранее заданным движением вещества По теореме Томсона при вычислении не нужно принимать во внимание передвижения электричества по поверхности проводника. Мы можем поэтому производить вычисления так, как если бы заряд всюду был прочяо связан с материей. Но тогда есть плотность конвекционного потока, и таким образом по теореме Гаусса

Заметим еще вполне аналогичную формулу для изменения плотности текущего вещества

Чтобы вычислить рассмотрим изменение в для текущей материальной частицы. Для этого мы должны сравнить зпачение в момент времени в положении х, у, с соответствующим значением ко времени в положении Для вещественного изменения мы получаем:

таким образом

Вещественное изменение нельзя определить в общем виде без дальнейших данных о природе диэлектрика. Поэтому мы ограничимся (в случае жидкостей вполпе достаточным) предположением, что есть однозначная функция плотности Тогда

Но вещественное изменение плотности дается общим уравнением

поэтому с данным выше значением для

или также

Таким образом мы получаем окончательно

Совместно С (101) и (102) получим

Применим теперь еще раз теорему Гауеса, полагая при этом

и

При этом интегралы по бесконечно далекой поверхности поля обращаются в нуль, и так как теперь и оказывается общим множителем, то остается только

Таким образом мы получили действительно выражение вида (96), из которого можно непосредственно вывести силу к, отнесенную к единице объема:

Подчеркнем еще раз, что при этом диэлектрическая постоянная считается функцией одной только плотности составляется из трех слагаемых. Первое — дает известное нам действие силы на истинные заряды; второе

проявляется всюду, где изменяется от точки к точке. В частности, на пограничной поверхности изолятора с пустотой опо дает силу, нормальную к внешней поверхности изолятора и стремящуюся втянуть изолятор в пустоту.

Наконец, третье слагаемое является важным для явления электрострикции, которое мы особо рассмотрим в следующем параграфе.