§ 57. Вычисление коэффициентов индукции для некоторых частных случаев.

В § 55 и 56 мы считали, что произвольно меняется от места к месту. Если теперь область, заполненная магнитным полем, всюду обладает одинаковой пройицаемостью, то мы можем указать общую формулу для коэффициента взаимной индукции двух контуров 1 и определяется как разделенный на с поток индукции, который посылается током идущим во втором контуре, через первый контур. Если обозначить через линейный элемент первого контура и соответственно через элемент второго контура, то, согласно

где А означает векторный потенциал, создаваемый током 2 в месте Но для него мы уже раньше нашли [ср., например, (118а)] значение

так что мы получаем

Для вычисления коэффициента взаимной индукции надо каждый линейный элемент одного цонтура скалярно перемножить с каждым элементом другого контура, произведение разделить на расстояние между обоими элементами и просуммировать по обоим контурам.

Условие симметрии очевидно, соблюдено.

Для примера рассмотрим практически важный случай двух параллельных, коаксиальных круговых токов.

Пусть радиусы окружностей и их расстояние по нормали к их плоскостям. Для вычисления выберем два линейных элемента и которые повернуты друг относительно друга на угол Их взаимное расстояние будет

их скалярное произведение равняется

Если произвести интегрирование (144) сначала но второму контуру, то, в силу имеем

Интегрирование по первому контуру дает просто так что мы получаем

Чтобы привести этот интеграл в эллиптическим интегралам, для которых существует таблица, положим

Тогда

и

Таким образом получаем:

В силу тождества»

получается, следовательно,

В уравнении (145)

представляют собой полные эллиптические интегралы первого и второго вида, значения которых при данном можно взять из таблиц.

Определим еще приближенное значение (145) для случая, когда самое малое расстояние между окружностями мало по сравнению с их диаметром. Мы полагаем, следовательно,

Тогда к становится весьма близким , и мы получаем для приближенное значение наоборот, при стало бы бесконечным. Чтобы вычислить его для , заменим прежде всего на и разложим К на два слагаемых:

где выберем так, что

Тогда в первом приближении в первом слагаемом можно заменить первыми членами его разложения Во втором слагаемом можно, наоборот, просто заменить на 1; тогда получим

Положим еще

где означает кратчайшее расстояние окружностей, их (почти совпадающий) диаметр. В первом интеграле остающийся еще при множитель можно также положить равным единице. Тогда элементарное интегрирование дает

В силу отсюда получается

Если мы положим еще в (145) к также равным единице, то коэффициент взаимной индукции двух коаксиальных окружностей с почти одинаковым радиусом а, с наикратчайшим расстоянием малым по сравнению с а, получается равным

Применим этот результат к вычислению самоиндукции кругового провода с радиусом сечения и радиусом круга В, предполагая при этом При этом проводник нельзя уже считать линейным, так как тогда магнитная энергия поля при конечном токе стала бы бесконечно большой. Мы будем поэтому исходить из более общего уравнения которое для случая одного контура в поле будет иметь вид

Разделим область интегрирования на две. Первая, внешняя область пусть включает в себя все пространства за исключением провода; пусть она обозначается индексом а. Вторая, внутренняя область (индекс соответствует пространству, заполненному самим проводом. В этих двух областях проницаемости могут быть различны. Соответственно этому представим также и

в виде суммы внешней и внутренней самоиндукции.

Наше предположение позволит пользоваться следующим приближенным способом: во внешней области мы будем производить вычисление так, как если бы ток I концентрировался на оси провода, внутри провода мы предполагаем поле таким, каким оно было бы в прямолинейном бесконечно длинном проводе.

Для вычисления по формуле (146) заменим действие тока I действием магнитного двойного слоя, ограниченного этим током; магнитный потенциал создаваемый этим слоем, претерпевает при прохождении через слой скачок, равный -1. Теорема Гаусса дает в этом случае

есть разделенный на с поток индукции, посылаемый линейным круговым током радиуса В черев поверхность круга радиуса Следовательно,

где совпадает с величиной даваемой если заменить в ней а на на

Внутри провода на расстоянии у от оси поле дается формулой А, следовательно, энергия, приходящаяся на единицу длины, будет

Умножая на длину провода получим отсюда согласно уравнению (146), и тем самым

Таким образом, весь коэффициент самоиндукции нашего кольцевого провода будет

В частности при немагнитном материале

Рассмотрим следующий численный пример:

Тогда ; следовательно,

Если бы провод был сделан из ферромагнитного материала и окружен воздухом, то В этом случае энергия поля концентрировалась бы главным образом внутри провода. Напротив, при немагнитном материале внутри провода находится только 5% энергии.

Вышеуказанное подразделение на имеет физическое значение, когда мы имеем дело с высокочастотными колебаниями. В этом случае плотность тока распределяется по сечению провода неравномерно, как это мы выше предполагали при вычислении Рассматриваемый в § 66 скин-эффект приводит к тому, что ток проходит главным образом по поверхности провода, и что точно так же поле стягивается в тонкий поверхностный слой. Следствием этого является уменьшение Что касается то оно этим явлением почти не изменяется. Поэтому для достаточно быстрых колебаний становится равно нулю, и

Значительно проще вычисление для длинной катушки, согнутой в кольцо, при диаметре кольца А и поперечном сечении

катушки Пусть — полное число витков, и — проницаемость сердечника катушки. Тогда внутри катушки

следовательно,

Умножение на объем пространства, заполненного полем, дает

следовательно,

Если в формулах (145) и (146) мы хотим выразить в генри, то нужно численное значение, получаемое из этих формул, умножить на

Соответственно этому из формул § 26 получаются значения емкости в фарадах, если разделить результат на