§ 19 Изменение со временем потока через движущийся элемент поверхности.
Пусть А — произвольное поле скоростей; пусть оно изменяется со временем и так, что А пусть будет некоторая функция (непрерывная и дифференцируемая) 
Тогда 
есть поток через поверхность 
т. е. объем жидкости, протекающей через 
в единицу времени. Если поверхность неподвижна, то 
есть изменение потока со временем. Но если поверхность сама движется, то поток будет изменяться еще и по той причине, что в различное время поверхность 
будет находиться в различных местах поля А. Обозначим символом А новый вид дифференцирования по времени, определяемый по формуле:
есть, следовательно, вектор, поток которого через движущуюся поверхность равен изменению во времени потока вектора А через эту же поверхность. Для того чтобы вычислить А мы должны точно знать движение поверхности. Предположим, что это движение описывается вектором и, который задан для каждого элемента поверхности и представляет его скорость.
Рис. 23. Изменание потока через движующуюся поверхность.
Пусть (рис. 23) 
положение нашей поверхности в момент времени 
ее положение в момент 
можно получить из 
сдвигая каждый элемент поверхности из положения 
на вектор 
При тком смещении контур опишет поверхность в виде узкой полосы, которая вместе с поверхностями 
дает замкнутую поверхность, ограничивающую объем 
Данное формулой (69) изменение потока А через поверхность 
нужно вычислять как разность между потоком через 
в момент времени 
и потоком через в момент 
Применим теорему Гаусса к плоской коробке, ограниченной поверхностями 
и бортом, описанным контуром поверхности при смещении для момента времени 
Для этой коробки нормаль к поверхности будет являться внешней нормалью, нормаль 
внутренней. Элемеад доверхности борта как по величине, так и по направлению своей внешней нормали дается 
Таким образом теорема Гаусса 
Далее
Следовательно
Последнее слагаемое справа можно преобразовать по теореме Стокса
так что окончательно получаем.
Тем самым вычислен вектор А, определяемый (69). Он равен
Это выражение имеет особо важное значение в электродинамике, тогда нужно вычислить изменение потока индукции, пронизывающего движущийся проволочный контур.
