§ 56. Самоиндукция и взаимная индукция.

Рассмотрим далее энергию

системы проводов, по которым идут токи, при условиях предыдущего параграфа, и остановимся подробнее на потоке индукции

который пронизывает первый контур. В нашей системе вектор В в любом месте однозначно определяется токами в отдельных проводах. Раз мы предполагаем, что не зависит от то ясно, что отдельные токи прибавляют к вектору В части, пропорциональные соответствующим силам тока. Соответственно этому можно и поток индукции подразделить на части, создаваемые отдельными токами Выразим это в виде формулы

Значение введенных таким образом величин состоит в том, представляет собой тот поток индукции, который пронизывает контур тока № 1, когда в цепи тока течет а все остальные токи равны нулю. Очевидно,что зависит только от взаимного расположения двух контуров тока называют коэффициентом взаимной индукции двух контуров если называется коэффициентом самоиндукции контура.

Для каждого из контуров мы можем образовать выражение, соответствующее уравнению (142), так что в общем

Подставляя (142а) в выражение для энергии, получим

Энергия поля есть однородная квадратичная форма относительно сил тока. Это мы могли бы вывести уже из второго уравнения (141а)

В самом деле, оттуда прямо следует

Но по известной теореме Эйлера это уравнение выражает собой как раз то, что зависит от однородно квадратично. Но (142а) позволяет еще, кроме того, сделать очень важное заключение относительно симметрии коэффициентов взаимной индукции. А именно, согласно (142а),

следовательно, согласно (141а), также

Но отсюда следует, что всегда справедливо соотношение симметрии

С помощью этого результата преобразуем теперь выражение для силы

даваемое уравнением для случая, когда координата относится к первому контуру, и когда, следовательно, при изменении все провода, за исключением первого, остаются в покое. Тогда от будут

зависеть только те которых или или Таким образом из мы получаем прежде всего

Если во втором слагаемом заменить индекс на то соотношение симметрии дает

а, следовательно, по (142)

Сила "в направлении" координаты а, только множителем — отличается от приращения, которое получит поток индукции при движении в направлении если при этом все силы така будут поддерживаться постоянными. Поясним этот результат на двух простых примерах:

a) Сила, действующая на элемент проводника, по которому течет ток. Положим, что элемент проводника может с помощью, напрймер, скользящих контактов свободно двигаться в направлении При передвижении на единичный вектор описывает поверхность Сквозь эту поверхности проходит поток индукции

На эту величину увеличивается поток Для составляющей по силы, действующей на элемент уравнение (143) дает

и, следовательно, для самой силы выражение

совпадающее с (134).

b) Вращательный момент, который действует на плоский контур в однородном поле. Если есть плоскость, ограниченная контуром тока, а — угол между однородным полем и нормалью к плоскости, то а есть часть индукции, зависящая от Согласно уравнению (143), контур испытывает относительно оси, перпендикулярной к полю, вращательный момент в направлении равный а,

При отсутствии магнитных веществ тождественно с Тогда совпадает с вращательным моментом, который действовал бы на магнитную стрелку момента Этого результата нужно было ожидать на основании эквивалентности токов и магнитных листков (ср. § 48).