§ 5. Внешнее или векторное произведение.

Двумя векторами (именно в таком порядке следования) дается параллелограм

с определенным направлением обхода (рис. 7); площадь этого параллелограма дается выражением

Подобное образование называется "плоской величиной". Она определяется как площадка с определенным направлением обхода. Две плоские величины будут равны, если обе площадки параллельны, равны по площади и одинаковы по направлению обхода. Плоская величина, образуемая векторами называется внешним произведением векторов Оно обозначается символом Каждой "плоской величине" можно обратимо однозначно сопоставить вектор С, равный по длине ее площади, нормальный к ней и направленный таким образом, что поступательное движение в направлении С, совместно с вращением в направлении обхода "плоской величины", воспроизводят правый винт. Когда плоская величина дана двумя указанными векторами то вектор С называется векторным произведением что можно написать так:

Для действий над такими величинами введем следующее определение. Будем понимать под суммой нескольких плоских величин такую плоскую величину, которая соответствует вектору, получающемуся путем сложения векторов, соответствующих отдельным плоским величинам. Целесообразность такого определения вытекает из рассмотрения составляющей вектора С по какому-нибудь заданному направлению пусть последнее с С образует угол В самом деле, если спроектировать плоскую величину на плоскость, нормальную к то площадь этой проекции также равна Она согласуется с также и по знаку, если мы припишем плоскости такое направление обхода, которое вместе с представляет правый винт, и условимся считать плоскую величину положительной или отрицательной, смотря по тому, совпадает ли направление обхода этой величины и плоскостп или нет. Составляющая плоской величины на плоскость, с указанным для последней направлением обхода, равна, следовательно, составляющей сопоставленного ей вектора по направлению правовинтовой нормали к этой плоскости.

Рис. 7. Векторное произведение как вектор С.

Из данного определения для плоских величин следует, что коммутативный закон не имеет места.

Наоборот,

Дистрибутивный закон остается, напротив, в силе:

Для доказательства этого уравнения обратим внимание на то, что векторное произведение не изменяется, если вектор А заменмь его проекцией А на плоскость, нормальную к Если мы поступим таким образом с тремя векторами затем полученную таким образом фигуру на плоскости, нормальной увеличим в масштабе и повернем на прямой угол, то векторы переходят в векторы и

Для единичных векторов к имеет в частности место

и

Рис. 8. Момент вращения силы К, действующей в точке относительно точки

Рис. 9. Вращение тела вокруг оси с угловой скороетью

Если по этим правилам вычислить векторное произведение

то приходим к формуле

или в наглядной детерминантной форме

Примером внешнего произведения двух векторов может служить

момент вращения силы К. Пусть О будет центр (рис. 8); из него проведен вектор в точку на которую действует сила К. Тогда момент силы К относительно О

Другой пример дает кинематика твердого тела. Пусть некоторое твердое тело, закрепленное в точке, О, вращается вокруг оси (рис. 9). Отложим на этой оси из точки О отрезок, численное значение длины которого равно угловой скорости, и притом в том направлении, которое соответствует вращательному движению так же, как направление поступательного движения соответствует вращению при винтовом движении с правым ходом. Это условие указывает соответствующий данному вращательному движению вектор и. Если далее вектор, проведенный из О в какую-нибудь точку твердого тела, то очевидно скорость последнего

Действительно, точка движется нормально к плоскости, проведенной через Стрелка, которая указывает направление у, направлена, как видно на рисунке, как векторное произведение. Численное значение мы найдем, если опустим перпендикуляр из на ось вращения и помножим его на угловую скорость, А это дает как раз численное значение

векторного произведения, чем и доказывается предыдущее утверждение.