§ 72. Решение Герца.

Рассмотрим в этом параграфе специальна поле, которое создается такими токами и зарядами, изменяющимися во времени, при которых вся эта система (передатчик) сосредоточена, в весьма малой области около начала координат. Физически это означает следующее: размеры передатчика должны быть малы по сравнению с длиной волны производимого им излучения, а также малы по сравнению с расстоянием на котором мы исследуем поле передатчика. Тогда для потенциалов из которых по (189а и b) выводится поле, всюду, за исключением лишь области, непосредственна примыкающей к началу координат, справедливы уравнения

Простейшее решение, пригодное для нашей цели, мы получим, если потребуем, чтоб А зависело только от расстояния от начала координат, и чтобы этот вектор всюду имел одинаковое направление. за ось это направление и попробуем положить

Так как должно зависеть только от

и решение его:

где означает функцию аргумента , остающуюся пока произвольной. Тогда в силу оказывается по существу определенным и :

Но

Отсюда мы получаем

Тем самым удовлетворяется и

Чтобы понять, далее, физический смысл этого решения, рассмотрим для области, столь близкой к передатчику, что можно пренебречь запаздыванием по сравнений) с и членом с в знаменателе по сравнению с членом с в знаменателе. Если, например, как это большей частью имеет место в применениях, меняется во времени периодически, и, значит,

то, согласно

Если выбрать здесь то, действительно, можно зачеркнуть, во-первых, в тригонометрических функциях, во-вторых, член

Вблизи передатчика наше решение будет, значит

предотавляет собой электростатический потенциал электрического диполя, момент которого направлен вдоль положительной оси Напротив, А, согласно закону Био-Савара, является векторным потенциалом элемента тока Следовательно, если представить себе на расстоянии два металлических шара с зарядами и соответственно то они эквивалентны диполю момента Если заряд изменится вследствие того, что шары будут соединены через искровой промежуток или проволокой, то в соединяющем участке пробежит ток Таким образом, условие в этой схеме выполняется.

Рис. 57. Векторный потенциал линейного осциллятора.

Если теперь мы разберем наше решение (193) и (193а) для любых значений то тем самым мы получим излучение волн диполя момента находящегося в начале координат и ориентированного по оси

Для обсуждения значений вычисляемых по (189а и b), введем полярные координаты а и отложим ось вдоль направления Тогда прежде всего

Но согласно а потому по правилам § 20

или

Далее, для по имеем

или

Это и есть поле нашего передатчика на любых расстояниях. Разберем его для двух предельных случаев

Вблизи передатчика перевешивают члены с высшей степенью в знаменателе, и потому

Как и следовало ожидать, согласно данному выше приближенному вычислению, это есть магнитное поле элемента тока и статическое поле диполя момента

На больших расстояниях от передатчика действительными оказываются, наоборот, только члены с Это есть область волдовой зоны, для которой, следовательно,

Поэтому в волновой зоне векторы имеют одинаковую величину; они перпендикулярны друг к другу и к радиусу-вектору Их величина падает от экватора к полюсу

как Но это — картина линейно поляризованного волнового излучения, которое распространяется от передатчика в направлении Электрический вектор колеблется по касательной в меридианной плоскости, магнитный — по параллели.

Вычислим еще излучение т. е. энергию, которая переносится данной в (195) сферической волной через поверхность сферы радиуса за одну секунду. Между двумя широтами и лежит площадь Вводя вектор Пойнтинга

получим

Рис. 58. Электрическое и магнитное напряжение в волновой зоне линейного осциллятора.

Этот интеграл при подстановке дает

и, следовательно,

зависит от радиуса лишь постольку, поскольку излучение в момент времени определяется состоянием передатчика в момент времени .

Замечательно, что запаздывание в выражении (193) для А совершенно необходимо для того, чтобы волна (195) получилась сферической. Сферическая волна получается как раз тогда, когда при дифференцировании по принимают во внимание только в комбинации , а "кулоновское в знаменателе рассматривают как постоянную. Наоборот, действие вблизи передатчика получается тогда, когда дифференцируют только по Кулоновскому рассматривая "Максвеллово r" в числителе как постоянную.