§ 4. Внутреннее или скалярное произведение.

Пусть К — сила, действующая на точку. Если у есть скорость движущейся точки, то работа, которую совершает сила К в единицу времени, есть скалярная величина, значение которой дается произведением длин векторов на косинус угла между ними. Напишем это произведение в виде

и назовем его скалярным или (по Грассману) внутренним произведением двух указанных векторов. Это обозначение перенесем на любые векторы.

Косинус угла между двумя векторами равен если оба вектора направлены одинаково и в одну сторону, и равен —1, если они направлены противоположно. Он равен нулю, если векторы образуют между собой прямой угол. Если применить это к основным векторам то получаем

Скалярное произведение остается, согласно служащему для его определения уравнению (10), неизменным, если изменить порядок следования сомножителей. Скалярное умножение двух векторов следует коммутативному закону. Внутреннее произведение двух векторов можно понимать как алгебраическое произведевие длины вектора (например, на составляющую другого вектора но направлению первого вектора. Из этого толкования тотчас же следует дистрибутивный закон скалярного умножения:

В самом деле, по доказанной в § 3 теореме, составляющая геометрической суммы векторов по какому-либо направлению равна алгебраической сумме составляющих слагаемых векторов по тому же направлению. Если векторы как выше, суть силы, а у — скорость, то (12) гласит: работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ отдельных составляющих сил.

Вследствие применимости коммутативного и дистрибутивного законов при скалярном умножении соблюдаются правила умножения обычной алгебры. Так, например, имеет место) правило:

Если оба множителя скалярного произведения выразить через основные векторы то получают

Если вычислить правую сторону по обычным правилам умножения принимая во внимание (11), то следует

— формула, которая, согласно определению скалярного произведения и уравнению (8а), переходит в известную формулу аналитической геометрии