II. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
§ 8. Гидродинамическое изображение.
В главе I этого раздела мы развивали понятие вектора и правила векторной алгебры применительно к механике материальной точки. Скорость последней давалась одним вектором. В настоящей главе мы будем исходить из задачи исследования движения жидкости, заполняющей собой объем. Здесь скорости различных материальных частиц вообще независимы друг от от друга. Поэтому каждой точке надо сопоставлять свой особый вектор скорости. Движущаяся жидкость, заполняющая объем, образует, как принято говорить, векторное поле.
В математической физике принято говорить о поле некоторой переменной, когда в известной части пространства рассматривают значение ее величины в зависимости от координат места; при этом, за исключением отдельных поверхностей, линий и точек, считают эти
значения непрерывными. Существуют скалярные поля (например, поле температуры) и векторные поля (например, поле силы тяжести).
Изучение движения жидкости чрезвычайно способствовало развитию теории векторных полей; особое значение имели здесь основные исследования вихревых движений, принадлежащие Гельмголътцу. На них основывался Максвелл, когда он приступил, к математическому обоснованию идеи Фарадея о силовом поле. Для Максвелла гидродинамические аналогии были нечто большее, нежели чисто математические картины. Гидродинамические представления о механизме поля руководили им при установлении законов близкодействия электромагнитного поля.
Мы последуем этому историческому пути и разовьем в этой главе математическую теорию векторных полей применительно к гидродинамической задаче. Подобно тому, как выше мы любому вектору сопоставляли некоторое смещение, заменим теперь вектор, поле которого мы исследуем, вектором скорости жидкости, заполняющей пространство. Существует, однако, опасность, что при такой гидродинамической картине мы ограничим наше исследование слишком частным случаем; чтобы этого избежать, мы иногда будем приписывать жидкости такие свойства, которые в некоторых отношениях отклоняются от свойств реальных жидкостей. Это дозволено, поскольку здесь речь идет исключительно о математической аналогии.
