§ 2. Сложение и вычитание векторов.

При определении вектора сложение векторов было сведено к суммированию прямолинейных смещений. Рассмотрим два вектора одинакового рода и размерности. Для того чтобы их сложить, представим себе движущуюся точку, находящуюся вначале в положении 1 (рис. 1). Пусть точке дано сначала смещение которое подлине, направлению и знаку представляет вектор затем из положения (2) пусть она передвигается на расстояние (2,3), которое по длине, направлению и знаку представляет вектор В. Результат получается тот же самый, что и при смещении из (1) в (3). Непосредственное прямолинейное смещение из (1) в (3) называется равнодействующей или геометрической суммой обоих смещений и Она представляет вектор С, который, согласно определению § 1, являясь равнодействующей или суммой векторов должен быть обозначен

Если произвести сначала смещение В (рис. 2), а затем смещение А, то движущаяся точка описывает путь (143), который вместе о путем (123) образует параллелограм. Следовательно, равнодействующая смещений так же как и равнодействующая смещений представляется диагональю (13) этого параллелограма (рис. 2).

Рис. 2. Сложение и вычитание векторов.

Таким образом сложение векторов следует коммутативному закону: геометрическая сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых

Закон параллелограма при сложении, представленный на рис. 2, характерен для тех величин, которые мы называем векторами. Существуют однако величины, которые также имеют длину, направление и знак, и которые тем не менее, в установленном здесь смысле, нельзя рассматривать как векторы, так как их сложение следует другому закону. Так, например, как известно из кинематики, бесконечно малые вращения твердой системы вокруг неподвижной точки представляются векторами, ибо сложение таких вращений повинуется закону параллелограма; наоборот, конечное вращение нельзя рассматривать как вектор, потому что сложение вращений совершается более сложным образом. Как учит статика, силы, действующие на материальную точку, следуют при сложении закону параллелограма. Значит, эти силы суть векторы.

Если рассмотреть смещения, аддитивно сложенные из векторов (рис. 3), то можно легко убедиться в том, что для сложения векторов справедлив ассоциативный закон

На рис. 3 сумма трех векторов получалась путем построения четырехугольника, сторонами которого являются слагаемые векторы и их сумма. Аналогично этому для нахождения суммы векторов пользуются векторным многоугольником, имеющим сторон, из которых сторон — слагаемые векторы, а одна сторона — их сумма.

Спрашивается теперь, какое значение нужно придавать геометрической разности двух векторов —Разность должна определяться таким образом, чтобы для векторов, так же, как и для скаляров, имело место соотношение

Соответственно этому вектору - В должно соответствовать смещение, которое уничтожает смещение В, возвращая движущуюся точку в начальное положение другими словами, смещение, равное по длине и одинаковое по направлению со смещением В, но обратное ему по знаку. Под геометрической разностью векторов понимают геометрическую сумму векторов и соответственно определяют вычитание векторов следующим образом: вычесть из вектора А вектор В значит сложить вектор А с вектором, равным по длине и одинаковым по направлению с вектором В, но противоположным ему по знаку. В параллелограме рис. 2 диагональ (13) представляет геометрическую сумму диагональ (42) — геометрическую разность

Рис. 3. Сложение трех векторов.

Вышеуказанные правила сложения и вычитания векторов формально согласуются с законами обычной алгебры.