7.3.4. Два практических примера оценивания спектра

Спектральный анализ данных о партиях продукта. 1. Предварирительный анализ. Проверка данных о партиях продукта на рис. 5.2 не выявила какого-либо очевидного тренда. Поэтому была использована выборочная оценка ковариационной функции (7.1.2), которая вычислялась до запаздывания

Рис. 7.15. Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра для данных о партиях продукта.

Проверка пробного спектра на рис. 7.14 показала, что спектр весьма плавный, так как диапазон его изменений равен примерно четырем. Поэтому не стали брать первые разности от данных.

2. Первая стадия вычислений. Выборочная корреляционная функция для этих данных изображена на рис. 5.6. Из этого графика видно, что она фактически равна нулю при Поэтому было решено взять точки отсечения и 16.

3. Вторая стадия вычислений. С помощью окна Тьюки для этих значений вычислялись выборочные оценки нормированного спектра, графики которых были построены все вместе на рис. 7.15.

На этом рисунке нанесены также отрезки, показывающие значения ширины полосы частот окна и доверительные интервалы для каждого из выбранных значений

Следует отметить, что этот спектр похож на спектр искусственного процесса авторегрессии первого порядка с показанный на рис. 7.4. Очевидно, что полоса частот, соответствующая слишком широка для того, чтобы выявить какие-нибудь детали в спектре, но изменения при переходе от к показывают, что спектр очень плавный и что нет смысла стягивать окно еще больше.

Рис. 7.16. Выборочная автокорреляционная функция для данных об отраженном радиолокационном сигнале, изображенном на рис. 5.1.

Несмотря на то что мало, можно считать, что спектральный анализ является удовлетворительным и что мы немногое потеряли бы, взяв Для окна Тьюки и число степеней свободы равно 23, что является приемлемой величиной.

Спектральный анализ радиолокационных данных. Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий метод, изложенный в разд. 7.3.3. На рис. 7.16 показана выборочная корреляционная функция отраженного радиолокационного сигнала, изображенного на рис. 5.1. На рис. 7.17 приведены выборочные оценки нормированного спектра, полученные с помощью окна Бартлетта при и 60 для ряда, состоящего из членов. Частотный диапазон обозначен от 0 до 0,5 гц, поскольку настоящий диапазон несуществен. Мы видим, что при выборочная оценка плавная и не выявляет пика, существование которого можно было бы ожидать из-за осцилляций корреляционной функции. При (этот случай не показан на рисунке) появляются вполне различимые пики приблизительно на частотах гц и 0,25 гц. Увеличение до 48 выявляет эти пики очень наглядно, и далее видно, что при увеличении до 60 спектр меняется мало. Поэтому было взято значение для которого эквивалентная ширина полосы частот равна гц, и выборочная оценка на каждой из оцениваемых частот имеет степени свободы, что является приемлемой величиной. Доверительный интервал при

показан на рисунке вертикальным отрезком, а ширина полосы частот — горизонтальным.

В этом конкретном эксперименте потребовалось вычислять корреляции для 60 запаздываний, чтобы подходящим образом описать пик на частоте 0,07 гц.

Рис. 7.17. (см. скан) Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра отраженного радиолокационного сигнала, изображенного на рис. 5.1.

В то же время для частот, больших чем 0,1 гц, спектр можно довольно точно определить с помощью лишь 32 значений корреляций. Это еще раз иллюстрирует важный практический факт: в то время как для оценивания очень узкого пика в определенной части спектра могут понадобиться очень большие

значения остающуюся часть спектра, возможно, удастся проанализировать при гораздо меньших L. В настоящем примере с радиолокатором пик на частоте 0,07 гц не представлял большого интереса, поскольку он был вызван частотой сканирования радиолокатора. В действительности интересен был частотный диапазон выше 0,1 гц, который можно было бы успешно проанализировать с помощью относительно небольших значений таких, как 32 или 40.