10.2. ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОТКЛИКА НА ЕДИНИЧНЫЙ ИМПУЛЬС

10.2.1. Непосредственное оценивание функций отклика на единичный импульс

В разд. 10.1 утверждалось, что непосредственное оценивание функции отклика на единичный импульс представляет собой неразумный подход. Чтобы проиллюстрировать трудности, скрывающиеся в этом подходе, рассмотрим искусственные данные, полученные с помощью линейной модели

где — белый шум и — вход системы. Выход системы равен сумме белого шума и отклика линейной системы на входной сигнал Использованные для анализа данные, состоявшие из пар значений приведены в Приложении П10.1.

К этим данным подбиралась модель вида

где — средний уровень входного процесса. Поскольку значение М, за которым становятся пренебрежимо малыми, неизвестно, нужно попробовать несколько значений М и остановиться тогда, когда выборочные оценки станут малы по сравнению с уровнем шума. При фиксированном М веса можно оценить методом наименьших квадратов, т. е. предполагая, что шум белый, надо минимизировать выражение

по Это приводит к нормальным уравнениям

Заметим, что уравнения (10.2.4) вполне справедливы лишь для белого шума Но так как первоначально корреляционная структура шума неизвестна, оценивание подразделяется на два этапа. Сначала из уравнений (10.2.4) вычисляются выборочные оценки и оценивается автокорреляционная функция остаточных ошибок. Зная эту функцию, можно предложить более эффективный способ оценивания, который учитывал бы корреляционную структуру шума. Пример такого подхода приводится в разд. 10.2.2.

Так как в рассматриваемом нами примере известно, что шум белый, мы использовали нормальные уравнения (10.2.4) для оценивания параметров по ряду из 100 членов, полученных с помощью модели (10.2.1). В табл. 10.1 приведены выборочные оценки для значений Сравнение со значениями теоретической функции отклика на единичный импульс показывает, что выборочные оценки плохие. Это объясняется большой дисперсией оценок и их сильной корреляцией, проявляющейся в заметных колебаниях при больших .